यदि $x={ }^{16} C_5+{ }^{12} C_4, y=\sum_{r=1}^3{ }^{(20-r)} C_4, z=\sum_{k=1}^4{ }^{(16-k)} C_3$ है,तो $x+y+z=$

$APPLICATION$ शब्द के सभी अक्षरों का उपयोग करके कितने अलग-अलग शब्द बनाए जा सकते हैं ताकि कोई भी दो स्वर एक साथ न आएं?

$6$ अलग-अलग उपन्यासों और $3$ अलग-अलग शब्दकोशों में से $4$ उपन्यासों और $1$ शब्दकोश का चयन करके उन्हें एक पंक्ति में इस प्रकार व्यवस्थित करना है कि शब्दकोश हमेशा बीच में रहे। ऐसी व्यवस्थाओं की संख्या क्या है?

मान लीजिए $a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7$ ऐसे पूर्णांक हैं कि $\frac{5}{7} = \frac{a_2}{2!} + \frac{a_3}{3!} + \frac{a_4}{4!} + \frac{a_5}{5!} + \frac{a_6}{6!} + \frac{a_7}{7!}$,जहाँ $j = 2, 3, 4, 5, 6, 7$ के लिए $0 \leq a_j < j$ है। $a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7$ का योग है:

मान लीजिए $m = (9n^2 + 54n + 80)(9n^2 + 45n + 54)(9n^2 + 36n + 35)$ है। वह सबसे बड़ा धनात्मक पूर्णांक जो सभी धनात्मक पूर्णांकों $n$ के लिए $m$ को विभाजित करता है,है:

एक व्यक्ति अपना $4-$अंकीय $ATM$ पिन कोड भूल जाता है। लेकिन उसे याद है कि कोड में सभी अंक अलग-अलग हैं,सबसे बड़ा अंक $7$ है और पहले दो अंकों का योग अंतिम दो अंकों के योग के बराबर है। तो सही कोड प्राप्त करने के लिए आवश्यक अधिकतम प्रयासों की संख्या $...........$ है।