જો $|a| = 3, |b| = 1, |c| = 4$ અને $a + b + c = 0$ હોય,તો $a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a = $

ધારો કે $\hat{a}$ અને $\hat{b}$ બે એકમ સદિશો છે. જો સદિશો $\bar{c}=\hat{a}+2 \hat{b}$ અને $\bar{d}=5 \hat{a}-4 \hat{b}$ એકબીજાને લંબ હોય,તો $\hat{a}$ અને $\hat{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

ધારો કે $\vec{a} = -\hat{i} - \hat{k}$,$\vec{b} = -\hat{i} + \hat{j}$,અને $\vec{c} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ ત્રણ આપેલા સદિશો છે. જો $\vec{r}$ એવો સદિશ હોય કે જેથી $\vec{r} \times \vec{b} = \vec{c} \times \vec{b}$ અને $\vec{r} \cdot \vec{a} = 0$ થાય,તો $\vec{r} \cdot \vec{b}$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો $p = i - 2j + 3k$ અને $q = 3i + j + 2k$ હોય,તો $r$ ની દિશામાંનો સદિશ જે $p$ અને $q$ નું સુરેખ સંયોજન હોય અને $q$ ને લંબ હોય તે શોધો.

આપેલ છે કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{p}$ અને $\vec{q}$ ચાર સદિશો છે જેથી $\vec{a} + \vec{b} = \mu \vec{p}$,$\vec{b} \cdot \vec{q} = 0$ અને $|\vec{b}|^2 = 1$ હોય,તો $|(\vec{a} \cdot \vec{q}) \vec{p} - (\vec{p} \cdot \vec{q}) \vec{a}|$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\overline{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ અને $\overline{b}=\hat{i}+\hat{j}$ છે. ધારો કે $\overline{c}$ એક એવો સદિશ છે કે જેથી $|\bar{c}-\bar{a}|=3$ અને $|(\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{c}|=3$ થાય અને $\overline{c}$ તથા $\overline{a} \times \overline{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $30^{\circ}$ હોય,તો $\overline{a} \cdot \overline{c}$ ની કિંમત શોધો.