જો $a \neq 0, b \neq 0$ અને $|a + b| = |a - b|$ હોય,તો સદિશો $a$ અને $b$ . . . છે.

જો $A, B$ અને $C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, \hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}$ અને $3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k}$ હોય,તો $\cos ^2 A$ ની કિંમત શોધો.

સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની પાસપાસેની બાજુઓ $2 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k}$ અને $\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ હોય,તો તેના વિકર્ણો વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

સદિશ $\vec{a} = \alpha \hat{i} + 2\hat{j} + \beta \hat{k}$ એ $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j}$ અને $\vec{c} = \hat{j} + \hat{k}$ ના સમતલમાં આવેલો છે અને $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ વચ્ચેના ખૂણાને દ્વિભાજે છે. તો $\alpha$ અને $\beta$ ના શક્ય મૂલ્યો શોધો.

ધારો કે $\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}$ ત્રણ શૂન્યતર સદિશો છે જે જોડીમાં અરેખીય (non-collinear) છે. જો $\vec{\alpha}+3 \vec{\beta}$ એ $\vec{\gamma}$ સાથે સમરેખ હોય અને $\vec{\beta}+2 \vec{\gamma}$ એ $\vec{\alpha}$ સાથે સમરેખ હોય, તો $\vec{\alpha}+3 \vec{\beta}+6 \vec{\gamma}$ શું થાય?

ધારો કે $\vec{c}$ અને $\vec{d}$ એવા સદિશો છે કે જેથી $|\vec{c}+\vec{d}|=\sqrt{29}$ અને $\vec{c}\times(2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k})=(2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k})\times\vec{d}$ થાય. જો $\lambda_1, \lambda_2$ $(\lambda_1 > \lambda_2)$ એ $(\vec{c}+\vec{d}) \cdot (-7\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k})$ ની શક્ય કિંમતો હોય, તો સમીકરણ $K^{2}x^{2}+(K^{2}-5K+\lambda_{1})xy+(3K+\frac{\lambda_{2}}{2})y^{2}-8x+12y+\lambda_{2}=0$ એ વર્તુળ દર્શાવે છે, તો $K$ ની કિંમત શોધો: