यदि $x+y+n=0, n>0$ दीर्घवृत्त $x^2+3y^2=3$ का अभिलंब है और $x+my+3=0, m <  0$ दीर्घवृत्त $x^2+5y^2=5$ की स्पर्श रेखा है,तो इन दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु किस समीकरण को संतुष्ट करता है?

दीर्घवृत्त $x^2+2y^2=2$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं द्वारा निर्देशांक अक्षों पर कटे हुए भाग के मध्य बिंदुओं का बिंदुपथ है

दो सीधी रेखाओं पर विचार करें,जिनमें से प्रत्येक वृत्त $x^2 + y^2 = \frac{1}{2}$ और परवलय $y^2 = 4x$ दोनों को स्पर्श करती है। मान लीजिए कि ये रेखाएं बिंदु $Q$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। उस दीर्घवृत्त पर विचार करें जिसका केंद्र मूल बिंदु $O(0,0)$ पर है और जिसकी अर्ध-दीर्घ अक्ष $OQ$ है। यदि इस दीर्घवृत्त के लघु अक्ष की लंबाई $\sqrt{2}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन $TRUE$ है?
$(A)$ दीर्घवृत्त के लिए,उत्केंद्रता $\frac{1}{\sqrt{2}}$ है और नाभिलंब की लंबाई $1$ है।
$(B)$ दीर्घवृत्त के लिए,उत्केंद्रता $\frac{1}{2}$ है और नाभिलंब की लंबाई $\frac{1}{2}$ है।
$(C)$ रेखाओं $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $x = 1$ के बीच दीर्घवृत्त द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $\frac{1}{4\sqrt{2}}(\pi - 2)$ है।
$(D)$ रेखाओं $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $x = 1$ के बीच दीर्घवृत्त द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $\frac{1}{16}(\pi - 2)$ है।

यदि बिंदु $(2 + 13 \cos \theta, 3 + 13 \sin \theta)$ से दीर्घवृत्त $\frac{(x-2)^2}{25} + \frac{(y-3)^2}{144} = 1$ पर स्पर्श रेखाएँ खींची जाती हैं,तो उनके बीच का कोण क्या है?

यदि एक दीर्घवृत्त की नाभियों के बीच की दूरी $6$ है और लघु अक्ष की लंबाई $8$ है,तो उत्केंद्रता क्या है?

मान लीजिए $S$ और $S^{\prime}$ एक दीर्घवृत्त की नाभियाँ हैं और $B$ इसके लघु अक्ष का एक सिरा है। यदि $\triangle SBS^{\prime}$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है,तो दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता ज्ञात कीजिए।