જો $x=9$ એ અતિવલય $x^2-y^2=9$ ની સ્પર્શક જીવા (chord of contact) હોય,તો સ્પર્શબિંદુઓ પૈકીના એક બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ શું થાય?

ધારો કે $S$ એ રેખાઓની જોડી $4x - 3y = 12\alpha$ અને $4\alpha x + 3\alpha y = 12$ ના છેદબિંદુનો બિંદુપથ દર્શાવે છે, જ્યાં $\alpha$ એ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણ પર બદલાય છે। ધારો કે $T$ એ $S$ ને સ્પર્શતી સ્પર્શક રેખા છે જે બિંદુઓ $(p, 0)$ અને $(0, q)$, $q > 0$ માંથી પસાર થાય છે અને રેખા $4x - \frac{3}{\sqrt{2}}y = 0$ ને સમાંતર છે। તો $pq$ નું મૂલ્ય શોધો। ($\sqrt{2}$ માં)

જો $A(4,0)$ અને $B(-4,0)$ બે બિંદુઓ હોય,તો બિંદુ $P$ નો બિંદુપથ શોધો જેથી $PA - PB = 4$ થાય.

અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ના બિંદુ $(x_{0}, y_{0})$ આગળ સ્પર્શક અને અભિલંબના સમીકરણો શોધો.

ધારો કે $P(a \sec \theta, b \tan \theta)$ અને $Q(a \sec \phi, b \tan \phi)$ જ્યાં $\theta + \phi = \frac{\pi}{2}$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરના બે બિંદુઓ છે. જો $(h, k)$ એ $P$ અને $Q$ આગળ દોરેલા અભિલંબનું છેદબિંદુ હોય,તો $k=$

જો $y=x+\sqrt{2}$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{2}=1$ નો સ્પર્શક હોય,તો તેની નિયામિકાઓના સમીકરણો શોધો.