ધારો કે $S$ એ રેખાઓની જોડી $4x - 3y = 12\alpha$ અને $4\alpha x + 3\alpha y = 12$ ના છેદબિંદુનો બિંદુપથ દર્શાવે છે, જ્યાં $\alpha$ એ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણ પર બદલાય છે। ધારો કે $T$ એ $S$ ને સ્પર્શતી સ્પર્શક રેખા છે જે બિંદુઓ $(p, 0)$ અને $(0, q)$, $q > 0$ માંથી પસાર થાય છે અને રેખા $4x - \frac{3}{\sqrt{2}}y = 0$ ને સમાંતર છે। તો $pq$ નું મૂલ્ય શોધો। ($\sqrt{2}$ માં)

અતિવલયના શિરોબિંદુઓ $(0, 0)$ અને $(10, 0)$ છે અને તેની એક નાભિ $(18, 0)$ પર છે. અતિવલયનું સમીકરણ શોધો:

જો રેખા $5x - 2y - 6 = 0$ એ અતિવલય $5x^2 - ky^2 = 12$ નો સ્પર્શક હોય,તો આ અતિવલયના બિંદુ $(\sqrt{6}, p)$ (જ્યાં $p < 0$) આગળના અભિલંબનું સમીકરણ શોધો.

ધારો કે $a$ અને $b$ એવા ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે કે જેથી $a > 1$ અને $b < a$ થાય. ધારો કે $P$ એ પ્રથમ ચરણમાં આવેલું બિંદુ છે જે અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ પર છે. ધારો કે $P$ આગળનો સ્પર્શક બિંદુ $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,અને ધારો કે $P$ આગળનો અભિલંબ યામ અક્ષો પર સમાન અંતઃખંડ કાપે છે. ધારો કે $\Delta$ એ $P$ આગળના સ્પર્શક,$P$ આગળના અભિલંબ અને $x$-અક્ષ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ દર્શાવે છે. જો $e$ એ અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા દર્શાવે,તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન/વિધાનો $TRUE$ છે?
$(A)$ $1 < e < \sqrt{2}$
$(B)$ $\sqrt{2} < e < 2$
$(C)$ $\Delta = a^4$
$(D)$ $\Delta = b^4$

એક અતિવલયનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ પર છે,તે $(4, 2)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને $x$-અક્ષ પર તેની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $4$ છે. તો અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

જો $2x - y + 1 = 0$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{16} = 1$ નો સ્પર્શક હોય,તો નીચેનામાંથી કઈ બાજુઓ કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓ $\text{ન હોઈ શકે}$?