मान लीजिए कि $S$ रेखाओं के युग्म $4x - 3y = 12\alpha$ और $4\alpha x + 3\alpha y = 12$ के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ है, जहाँ $\alpha$ गैर-शून्य वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर भिन्न होता है। मान लीजिए कि $T$, $S$ की स्पर्श रेखा है जो बिंदुओं $(p, 0)$ और $(0, q)$, $q > 0$ से गुजरती है और रेखा $4x - \frac{3}{\sqrt{2}}y = 0$ के समानांतर है। तो $pq$ का मान ज्ञात कीजिए। ($\sqrt{2}$ में)

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यदि $\theta$ बिंदु $(2,3)$ से अतिपरवलय $5x^2-6y^2-30=0$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का न्यून कोण है,तो $\tan \theta=$

अतिपरवलय $4x^2 - 9y^2 - 36 = 0$ की नाभियाँ हैं:

दी गई शर्तों को संतुष्ट करने वाले अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए: नाभियाँ $(0, \pm \sqrt{10})$,जो $(2, 3)$ से होकर गुजरता है।

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यदि मूल बिंदु पर केंद्रित और $(4, -2\sqrt{3})$ बिंदु से गुजरने वाले अतिपरवलय की नियता $5x = 4\sqrt{5}$ है और इसकी उत्केंद्रता $e$ है,तो

मान लीजिए कि $PQ$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की एक जीवा है, जो $x$-अक्ष के लंबवत है, इस प्रकार कि $OPQ$ एक समबाहु त्रिभुज है, जहाँ $O$ अतिपरवलय का केंद्र है। यदि अतिपरवलय की उत्केंद्रता $\sqrt{3}$ है, तो त्रिभुज $OPQ$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

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