જો $a \cdot b = a \cdot c$,$a \times b = a \times c$ અને $a \neq 0$ હોય,તો

$ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે અને $P$ એ રેખાખંડ $AD$ પરનું એક બિંદુ છે જે તેને $3:1$ ના ગુણોત્તરમાં આંતરિક રીતે વિભાજિત કરે છે. જો રેખા $BP$ વિકર્ણ $AC$ ને $Q$ માં મળે, તો $AQ:QC$ બરાબર શું થાય?

ધારો કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ સમાન માન ધરાવતા સદિશો છે જેથી $\frac{|\vec{a}+\vec{b}|+|\vec{a}-\vec{b}|}{|\vec{a}+\vec{b}|-|\vec{a}-\vec{b}|}=\sqrt{2}+1$ થાય. તો $\frac{|\vec{a}+\vec{b}|^2}{|\vec{a}|^2}$ ની કિંમત શોધો.

$p > 0$ માટે,સદિશ $\vec{v}_{2} = 2 \hat{i} + (p + 1) \hat{j}$ એ સદિશ $\vec{v}_{1} = \sqrt{3} p \hat{i} + \hat{j}$ ને ઉગમબિંદુની આસપાસ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં $\theta$ ખૂણે ફેરવીને મેળવવામાં આવે છે. જો $\tan \theta = \frac{(\alpha \sqrt{3} - 2)}{4 \sqrt{3} + 3}$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત $....$ છે.

ધારો કે $a, b$ અને $c$ એ અનુક્રમે $3, 4$ અને $5$ માન ધરાવતા સદિશો છે અને $a + b + c = 0$ છે. તો $a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે બે એકમ સદિશો $\hat{a}$ અને $\hat{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta, 0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ એ $\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{65}}{9}\right)$ છે. જો સદિશ $\vec{c} = 3\hat{a} + 6\hat{b} + 9(\hat{a} \times \hat{b})$ હોય,તો $9(\vec{c} \cdot \hat{a}) - 3(\vec{c} \cdot \hat{b})$ ની કિંમત શોધો.