જો $p_1, p_2, p_3$ એ ત્રિકોણ $ABC$ ના વેધ હોય અને $a=4, b=5, c=6$ તેની બાજુઓ હોય,તો $\frac{1}{p_1^2} + \frac{1}{p_2^2} + \frac{1}{p_3^2} =$

$0 \leq x \leq 12 \pi$ માટે $\sin x = \frac{6}{x}$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ $ABC$ ની પરિત્રિજ્યા $R$ એ તેની અંતઃત્રિજ્યા $r$ કરતા ચાર ગણી છે. જો $A = B$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ $ABC$ માં,$\angle C = \angle A$ છે. જો આંતરિક ખૂણાઓ $\angle A$ અને $\angle C$ ના દ્વિભાજકોનું છેદબિંદુ એ બાજુ $AC$ ના મધ્યગાને $3 : 1$ ના ગુણોત્તરમાં (શિરોબિંદુ $B$ થી બાજુ $AC$ તરફ) વિભાજિત કરે છે,તો $\csc \frac{B}{2}$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

વિધાન $-1$: અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં ત્રિકોણમિતીય સમીકરણો $2\sin^2\theta - \cos 2\theta = 0$ અને $2\cos^2\theta - 3\sin\theta = 0$ ના સામાન્ય ઉકેલોની સંખ્યા બે છે.
વિધાન $-2$: અંતરાલ $[0, \pi]$ માં સમીકરણ $2\cos^2\theta - 3\sin\theta = 0$ ના ઉકેલોની સંખ્યા બે છે.

જો સમીકરણ $2 \sin^2 x + \frac{\sin 2x}{2} = k$ ને ઓછામાં ઓછો એક વાસ્તવિક ઉકેલ હોય,તો $k$ ના તમામ પૂર્ણાંક મૂલ્યોનો સરવાળો કેટલો થાય?