જો $x=\alpha, y=\beta, z=\gamma$ એ સમીકરણોની સંહતિ $2x+3y+z=-1$, $3x+y+z=4$, અને $x-3y-2z=1$ નો ઉકેલ હોય, તો $\beta$ ની કિંમત શોધો:

સમીકરણોની સિસ્ટમ $x+3by+bz=0$, $x+2ay+az=0$ અને $x+4cy+cz=0$ માટે

સમીકરણોની સંહતિની સુસંગતતા તપાસો: $x+y+z=1$,$2x+3y+2z=2$,અને $ax+ay+2az=4$.

જો સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $x + ay + z = 3$,$x + 2y + 2z = 6$,અને $x + 5y + 3z = b$ ને કોઈ ઉકેલ ન હોય,તો:

ધારો કે સમીકરણોની સિસ્ટમ $x+5y-z=1$,$4x+3y-3z=7$,$24x+y+\lambda z=\mu$,જ્યાં $\lambda, \mu \in R$,ને અનંત ઉકેલો છે. તો જો $x, y, z$ પૂર્ણાંક હોય અને $7 \leq x+y+z \leq 77$ નું પાલન કરે,તો આ સિસ્ટમના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $S$ એ તમામ સ્તંભ શ્રેણિકો $\left[\begin{array}{l}b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{array}\right]$ નો ગણ છે,જ્યાં $b_1, b_2, b_3 \in \mathbb{R}$ અને સમીકરણોની સંહતિ (વાસ્તવિક ચલોમાં)
$-x+2y+5z=b_1$
$2x-4y+3z=b_2$
$x-2y+2z=b_3$
ને ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ છે. તો,નીચેનામાંથી કઈ સંહતિ(ઓ) (વાસ્તવિક ચલોમાં) દરેક $\left[\begin{array}{l}b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{array}\right] \in S$ માટે ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ ધરાવે છે?
$(A)$ $x+2y+3z=b_1, 4y+5z=b_2$ અને $x+2y+6z=b_3$
$(B)$ $x+y+3z=b_1, 5x+2y+6z=b_2$ અને $-2x-y-3z=b_3$
$(C)$ $-x+2y-5z=b_1, 2x-4y+10z=b_2$ અને $x-2y+5z=b_3$
$(D)$ $x+2y+5z=b_1, 2x+3z=b_2$ અને $x+4y-5z=b_3$