यदि sum_{n=1}^k tan ^{-1}left(frac{1}{n^2+3 n | vedclass

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Question

(C) हमारे पास है, $\sum_{n=1}^k 	an ^{-1}\left(\frac{1}{n^2+3 n+3}ight) = 	an ^{-1} \alpha$. सर्वसमिका $	an ^{-1} x - 	an ^{-1} y = 	an ^{-1}\l

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$\frac{k}{2 k+5}$

Vedclass · Answer

(C) हमारे पास है, $\sum_{n=1}^k 	an ^{-1}\left(\frac{1}{n^2+3 n+3}ight) = 	an ^{-1} \alpha$. सर्वसमिका $	an ^{-1} x - 	an ^{-1} y = 	an ^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}ight)$ का उपयोग करते हुए, हम योग के अंदर के पद को फिर से लिख सकते हैं: $\frac{1}{n^2+3n+3} = \frac{(n+2)-(n+1)}{1+(n+2)(n+1)}$. अतः, योग इस प्रकार हो जाता है: $\sum_{n=1}^k (	an ^{-1}(n+2) - 	an ^{-1}(n+1)) = 	an ^{-1} \alpha$. योग का विस्तार करने पर: $(	an ^{-1} 3 - 	an ^{-1} 2) + (	an ^{-1} 4 - 	an ^{-1} 3) + \dots + (	an ^{-1}(k+2) - 	an ^{-1}(k+1)) = 	an ^{-1} \alpha$. यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है, इसलिए सभी मध्यवर्ती पद कट जाते हैं: $	an ^{-1}(k+2) - 	an ^{-1} 2 = 	an ^{-1} \alpha$. सूत्र को फिर से लागू करने पर: $	an ^{-1}\left(\frac{(k+2)-2}{1+(k+2)(2)}ight) = 	an ^{-1} \alpha$. $	an ^{-1}\left(\frac{k}{1+2k+4}ight) = 	an ^{-1} \alpha$. इसलिए, $\alpha = \frac{k}{2k+5}$.

यदि $\sum_{n=1}^k \tan ^{-1}\left(\frac{1}{n^2+3 n+3}\right)=\tan ^{-1} \alpha$ है, तो $\alpha=$

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