જો D subseteq R અને f: D rightarrow R એ f(x) | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $y = \frac{x^2+x+a}{x^2-x+a}$.પદોને ગોઠવતા, આપણને $y(x^2-x+a) = x^2+x+a$ મળે છે.$yx^2 - yx + ay = x^2 + x + a$.$(y-1)x^2 - (y+1)x + a(y-1)

Vedclass · Accepted Answer

$(-\infty, 0)$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $y = \frac{x^2+x+a}{x^2-x+a}$.પદોને ગોઠવતા, આપણને $y(x^2-x+a) = x^2+x+a$ મળે છે.$yx^2 - yx + ay = x^2 + x + a$.$(y-1)x^2 - (y+1)x + a(y-1) = 0$.$f$ વ્યાપ્ત વિધેય હોવા માટે, $x$ માંના આ દ્વિઘાત સમીકરણને દરેક $y$ માટે વાસ્તવિક ઉકેલો હોવા જોઈએ.તેથી, વિવેચક $D \geq 0$.$D = (-(y+1))^2 - 4(y-1)(a(y-1)) \geq 0$.$(y+1)^2 - 4a(y-1)^2 \geq 0$.$y^2 + 2y + 1 - 4a(y^2 - 2y + 1) \geq 0$.$(1-4a)y^2 + (2+8a)y + (1-4a) \geq 0$.આ દરેક $y$ માટે સાચું હોવા માટે, $y^2$ નો સહગુણક ધન હોવો જોઈએ, એટલે કે $1-4a > 0 \Rightarrow a વળી, $y$ માંના આ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક $\leq 0$ હોવો જોઈએ.$(2+8a)^2 - 4(1-4a)^2 \leq 0$.$4(1+4a)^2 - 4(1-4a)^2 \leq 0$.$(1+4a-1+4a)(1+4a+1-4a) \leq 0$.$(8a)(2) \leq 0$ $\Rightarrow 16a \leq 0$ $\Rightarrow a \leq 0$.$a < 1/4$ અને $a \leq 0$ ને જોડતા, આપણને $a \in (-\infty, 0]$ મળે છે.

જો $D \subseteq R$ અને $f: D \rightarrow R$ એ $f(x) = \frac{x^2+x+a}{x^2-x+a}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય અને તે વ્યાપ્ત વિધેય (surjection) હોય, તો '$a$' કયા અંતરાલમાં હશે?

Similar Questions

વિધેય $f(x) = \frac{x^{2}+2x+1}{x^{2}-8x+12}$ નો પ્રદેશ શોધો.

જો વિધેય $f(x) = \log_e(4x^2 + 11x + 6) + \sin^{-1}(4x + 3) + \cos^{-1}\left(\frac{10x + 6}{3}\right)$ નો પ્રદેશ $(\alpha, \beta]$ હોય,તો $36|\alpha + \beta|$ ની કિંમત શોધો:

જો $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક $\leq x$ દર્શાવે, તો વાસ્તવિક વિધેય $f(x) = \frac{1}{\sqrt{[x]^2+[x]-2}}$ નો વિસ્તાર શોધો.

વિધેય $f(x) = 9 - 7 \sin x$ નો વિસ્તાર શોધો.

વિધેય $f:(2, \infty) \rightarrow R$ જે $f(x) = x^2 - 4x + 5$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. તો $f$ નો વિસ્તાર $=$ . . . . . . છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module