यदि [x] महत्तम पूर्णांक leq x को दर्शाता है औ | vedclass

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Question

(C) दिया गया फलन $f(x)=\frac{\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x}}{\sqrt{[x]+2}}$ है।$f(x)$ को परिभाषित होने के लिए, निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना होगा:$1. \ 3+x \g

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$12$

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(C) दिया गया फलन $f(x)=\frac{\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x}}{\sqrt{[x]+2}}$ है।$f(x)$ को परिभाषित होने के लिए, निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना होगा:$1. \ 3+x \geq 0 \Rightarrow x \geq -3$$2. \ 3-x \geq 0 \Rightarrow x \leq 3$$3. \ [x]+2 > 0 \Rightarrow [x] > -2$चूंकि $[x] > -2$, $[x]$ द्वारा लिया जा सकने वाला सबसे छोटा पूर्णांक मान $-1$ है। अतः, $x \geq -1$.इन शर्तों को मिलाने पर, हमें $x \in [-1, 3]$ प्राप्त होता है।यह देखते हुए कि अंतराल $[\alpha, \beta]$ है, हमारे पास $\alpha = -1$ और $\beta = 3$ है।अब, हम $f^2(\alpha+1) + 5f^2(\beta) = f^2(0) + 5f^2(3)$ की गणना करते हैं।$f(0) = \frac{\sqrt{3+0} + \sqrt{3-0}}{\sqrt{[0]+2}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{6}$. अतः, $f^2(0) = 6$.$f(3) = \frac{\sqrt{3+3} + \sqrt{3-3}}{\sqrt{[3]+2}} = \frac{\sqrt{6} + 0}{\sqrt{3+2}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$. अतः, $f^2(3) = \frac{6}{5}$.इसलिए, $f^2(0) + 5f^2(3) = 6 + 5 	imes \frac{6}{5} = 6 + 6 = 12$.अतः, विकल्प $C$ सही है।

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