क्या यह सत्य है कि सभी वास्तविक $x$ के लिए $x = e^{\log x}$ होता है?

मान लीजिए कि समुच्चय $A$ और $B$ फलन $f(x)=\frac{1}{\sqrt{\lceil x\rceil-x}}$ के क्रमशः प्रांत (domain) और परिसर (range) को दर्शाते हैं,जहाँ $\lceil x \rceil$ $x$ से बड़े या उसके बराबर सबसे छोटे पूर्णांक को दर्शाता है। तो कथनों
$(S1): A \cap B = (1, \infty) - \mathbb{N}$ और
$(S2): A \cup B = (1, \infty)$
में से कौन सा सत्य है?

फलन $f(x) = \frac{x - 3}{(x - 1)\sqrt{x^2 - 4}}$ का प्रांत (domain) ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f:(1,3) \rightarrow R$ एक फलन है जो $f(x)=\frac{x[x]}{1+x^{2}}$ द्वारा परिभाषित है,जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक $\leq x$ को दर्शाता है। तो $f$ का परिसर क्या है?

फलन $f(y) = \frac{\cos^{-1}(y-5)}{\sqrt{25-y^2}}$ का प्रांत (domain) है

समीकरण $2^x+2^y=2$ द्वारा परिभाषित फलन $y(x)$ का प्रांत (domain) क्या है?