मान लीजिए कि समुच्चय A और B फलन f(x)=frac{1}{ | vedclass

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Question

(A) फलन $f(x) = \frac{1}{\sqrt{\lceil x \rceil - x}}$ द्वारा दिया गया है।फलन को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक धनात्मक होना चाहिए: $\l

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केवल $(S1)$ सत्य है

Vedclass · Answer

(A) फलन $f(x) = \frac{1}{\sqrt{\lceil x ceil - x}}$ द्वारा दिया गया है।फलन को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक धनात्मक होना चाहिए: $\lceil x ceil - x > 0$,जिसका अर्थ है $\lceil x ceil > x$.यह असमिका सभी $x 
otin \mathbb{Z}$ के लिए सत्य है। यदि $x \in \mathbb{Z}$ है,तो $\lceil x ceil = x$,इसलिए $\lceil x ceil - x = 0$,जो हर (denominator) को शून्य बना देता है।अतः,प्रांत $A = \mathbb{R} - \mathbb{Z}$.$x 
otin \mathbb{Z}$ के लिए,हम जानते हैं कि $\lceil x ceil = \lfloor x floor + 1$. इसलिए,$\lceil x ceil - x = \lfloor x floor + 1 - x = 1 - (x - \lfloor x floor) = 1 - \{x\}$,जहाँ $\{x\}$ $x$ का भिन्नात्मक भाग है।चूंकि $x 
otin \mathbb{Z}$,$0 तब,$0  1$.अतः,परिसर $B = (1, \infty)$.अब,$A \cap B = (\mathbb{R} - \mathbb{Z}) \cap (1, \infty) = (1, \infty) - \mathbb{Z}$. चूंकि $(1, \infty)$ के साथ प्रतिच्छेदन में केवल धनात्मक पूर्णांक शामिल हैं,इसलिए $(1, \infty) - \mathbb{Z} = (1, \infty) - \mathbb{N}$. अतः,$(S1)$ सत्य है।$A \cup B = (\mathbb{R} - \mathbb{Z}) \cup (1, \infty) = \mathbb{R} - \{0, -1, -2, \dots\}$. यह $(1, \infty)$ के बराबर नहीं है। इसलिए,$(S2)$ असत्य है।अतः,केवल $(S1)$ सत्य है।

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