यदि $a = i - j + k$,$b = i + 2j - k$ और $c = 3i + pj + 5k$ समतलीय हैं,तो $p$ का मान ज्ञात कीजिए।

तीन सदिशों $u, v, w$ के लिए,निम्नलिखित में से कौन सा व्यंजक शेष तीन में से किसी के भी बराबर नहीं है?

एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) के तीन समवर्ती किनारे $OA, OB, OC$ तीन सदिशों $2i + j - k$,$i + 2j + 3k$ और $-3i - j + k$ द्वारा निरूपित हैं। इस प्रकार बने ठोस का आयतन घन इकाइयों में कितना है?

यदि $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$, $\vec{b} = \hat{i}$, और $\vec{c} = c_1 \hat{i} + c_2 \hat{j} + c_3 \hat{k}$ जहाँ $c_1 = 1$ और $c_2 = 2$ है, तो $c_3$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $\vec{a}$, $\vec{b}$, और $\vec{c}$ समतलीय (coplanar) हैं।

यदि सदिश $\vec x = 3i - 6j - k$,$\vec y = i + 4j - 3k$ और $\vec z = 3i - 4j - 12k$ दिए गए हैं,तो सदिश $\vec x \times \vec y$ का सदिश $\vec z$ पर प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।

यदि $\bar{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\bar{b}=4\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}$,और $\bar{c}=\hat{i}+\alpha\hat{j}+\beta\hat{k}$ रैखिक रूप से आश्रित सदिश हैं और $|\bar{c}|=\sqrt{3}$ है,तो $\alpha$ और $\beta$ के मान क्रमशः क्या हैं?