यदि f(x)=x^{tan x}+(tan x)^{x} है, तो f^{prim | vedclass

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Question

(A) माना $f(x) = f_1(x) + f_2(x)$, जहाँ $f_1(x) = x^{	an x}$ और $f_2(x) = (	an x)^x$ है। $f_1(x) = x^{	an x}$ के लिए, दोनों पक्षों का लॉग लेने पर:

Vedclass · Accepted Answer

$1+\frac{\pi}{2} \log \left(\frac{e \pi}{4}\right)$

Vedclass · Answer

(A) माना $f(x) = f_1(x) + f_2(x)$, जहाँ $f_1(x) = x^{	an x}$ और $f_2(x) = (	an x)^x$ है। $f_1(x) = x^{	an x}$ के लिए, दोनों पक्षों का लॉग लेने पर: $\log f_1 = 	an x \cdot \log x$। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{f_1} \frac{df_1}{dx} = \sec^2 x \cdot \log x + 	an x \cdot \frac{1}{x}$। अतः, $\frac{df_1}{dx} = x^{	an x} \left( \sec^2 x \cdot \log x + \frac{	an x}{x} ight)$। $f_2(x) = (	an x)^x$ के लिए, दोनों पक्षों का लॉग लेने पर: $\log f_2 = x \cdot \log(	an x)$। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{f_2} \frac{df_2}{dx} = 1 \cdot \log(	an x) + x \cdot \frac{1}{	an x} \cdot \sec^2 x$। अतः, $\frac{df_2}{dx} = (	an x)^x \left( \log(	an x) + \frac{x \sec^2 x}{	an x} ight)$। अब, $f^{\prime}(x) = \frac{df_1}{dx} + \frac{df_2}{dx}$। $x = \frac{\pi}{4}$ पर: $f_1^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}ight) = \left(\frac{\pi}{4}ight)^1 \left( (\sqrt{2})^2 \log \frac{\pi}{4} + \frac{1}{\pi/4} ight) = \frac{\pi}{4} (2 \log \frac{\pi}{4} + \frac{4}{\pi}) = \frac{\pi}{2} \log \frac{\pi}{4} + 1$। $f_2^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}ight) = (1)^{\pi/4} \left( \log 1 + \frac{\pi/4 \cdot 2}{1} ight) = 1 \cdot (0 + \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$। अतः, $f^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}ight) = \frac{\pi}{2} \log \frac{\pi}{4} + 1 + \frac{\pi}{2} = 1 + \frac{\pi}{2} (\log \frac{\pi}{4} + 1) = 1 + \frac{\pi}{2} \log \left( \frac{e \pi}{4} ight)$।

यदि $f(x)=x^{\tan x}+(\tan x)^{x}$ है, तो $f^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)=$

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