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Question

(A) दिया गया है, $\frac{dy}{dx} = \left(\frac{dx}{dy}\right)^{-1} \dots (i)$दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{d^2y}{dx^2} = -\left(\

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(A) दिया गया है, $\frac{dy}{dx} = \left(\frac{dx}{dy}\right)^{-1} \dots (i)$दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{d^2y}{dx^2} = -\left(\frac{dx}{dy}\right)^{-2} \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{dx}{dy}\right)$श्रृंखला नियम (chain rule) $\frac{d}{dx} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{d}{dy}$ का उपयोग करने पर:$\frac{d^2y}{dx^2} = -\left(\frac{dx}{dy}\right)^{-2} \cdot \left(\frac{d^2x}{dy^2} \cdot \frac{dy}{dx}\right)$चूंकि $\frac{dy}{dx} = \left(\frac{dx}{dy}\right)^{-1}$, इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:$\frac{d^2y}{dx^2} = -\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 \cdot \frac{d^2x}{dy^2} \cdot \frac{dy}{dx}$$\frac{d^2y}{dx^2} = -\left(\frac{dy}{dx}\right)^3 \cdot \frac{d^2x}{dy^2}$पदों को व्यवस्थित करने पर:$\frac{d^2x}{dy^2} \left(\frac{dy}{dx}\right)^3 + \frac{d^2y}{dx^2} = 0$दिए गए व्यंजक $\frac{d^2x}{dy^2} \left(\frac{dy}{dx}\right)^3 + \frac{d^2y}{dx^2} = k$ के साथ तुलना करने पर, हमें $k = 0$ प्राप्त होता है।अब, व्यंजक $e^{k f(x)} - k f(x)$ का मान ज्ञात करने पर:$e^{0 \cdot f(x)} - 0 \cdot f(x) = e^0 - 0 = 1 - 0 = 1$.

यदि $\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{1}{\left(\frac{dx}{dy}\right)}$ और $\frac{d^2x}{dy^2}\left(\frac{dy}{dx}\right)^3 + \frac{d^2y}{dx^2} = k$ है, तो $e^{k f(x)} - k f(x) =$

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