જો $\alpha = 2i + 3j - k$,$\beta = -i + 2j - 4k$ અને $\gamma = i + j + k$ હોય,તો $(\alpha \times \beta) \cdot (\alpha \times \gamma)$ ની કિંમત શોધો.

જો $\vec a = 3\vec j + 4\vec k$,$\vec b = 2\vec i + \vec k$ અને $\vec c$,$\vec d$ એ અનુક્રમે $\vec b$ ને સમાંતર અને લંબ $\vec a$ ના ઘટકો હોય,તો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $\left[ {(\vec a \times \vec c) \times (\vec c \times \vec d), (\vec c \times \vec d) \times (\vec d \times \vec a), (\vec d \times \vec a) \times (\vec a \times \vec c)} \right]$ ની કિંમત શોધો.

અવકાશમાં ચાર બિંદુઓ $A(1, -2, -1)$, $B(4, 0, -3)$, $C(1, 2, -1)$ અને $D(2, -4, -5)$ ધ્યાનમાં લો. જો $\vec{b} = \vec{AB}$, $\vec{c} = \vec{AC}$ અને $\vec{d} = \vec{AD}$ હોય, તો $\frac{[\vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{d}, \vec{d} \times \vec{b}]}{[\vec{b}+\vec{c}, \vec{c}+\vec{d}, \vec{d}+\vec{b}]}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\vec{a}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$ અને $\vec{b}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$. જો $\vec{c}$ એવો સદિશ હોય કે જેથી $\vec{a} \cdot \vec{c}=11$,$\vec{b} \cdot(\vec{a} \times \vec{c})=27$ અને $\vec{b} \cdot \vec{c}=-\sqrt{3}|\vec{b}|$,તો $|\vec{a} \times \vec{c}|^2$ ની કિંમત શોધો.

જો સદિશો $a$,$b$ અને $c$ સમતલીય હોય,તો $\left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ a \cdot a & a \cdot b & a \cdot c \\ b \cdot a & b \cdot b & b \cdot c\end{array}\right|$ ની કિંમત કેટલી થાય?

ધારો કે $\vec{a} = \hat{i} - \hat{j}$,$\vec{b} = \hat{j} - \hat{k}$,અને $\vec{c} = \hat{k} - \hat{i}$. જો $\vec{d}$ એકમ સદિશ હોય કે જેથી $\vec{a} \cdot \vec{d} = 0 = [\vec{b} \, \vec{c} \, \vec{d}]$,તો $\vec{d}$ શોધો.