यदि int frac{1}{x} sqrt{frac{1-sqrt{x}}{1+sqr | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int \frac{1}{x} \sqrt{\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}} dx$ है। $\sqrt{x} = \cos 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर, $x = \cos^2 	heta$ और $dx

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$\log \left(\frac{1+\sqrt{1-x}}{\sqrt{x}}\right)$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int \frac{1}{x} \sqrt{\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}} dx$ है। $\sqrt{x} = \cos 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर, $x = \cos^2 	heta$ और $dx = -2 \cos 	heta \sin 	heta d	heta$ प्राप्त होता है। अतः $I = \int \frac{1}{\cos^2 	heta} \sqrt{\frac{1-\cos 	heta}{1+\cos 	heta}} (-2 \cos 	heta \sin 	heta) d	heta$। $\sqrt{\frac{1-\cos 	heta}{1+\cos 	heta}} = 	an(	heta/2)$ का उपयोग करने पर, $I = -2 \int \frac{\sin 	heta}{\cos 	heta} 	an(	heta/2) d	heta$। चूँकि $\sin 	heta = 2 \sin(	heta/2) \cos(	heta/2)$ और $\cos 	heta = \cos^2(	heta/2) - \sin^2(	heta/2)$, इसलिए $I = -4 \int \frac{\sin^2(	heta/2)}{\cos^2(	heta/2) - \sin^2(	heta/2)} d	heta$। अंश और हर को $\cos^2(	heta/2)$ से विभाजित करने पर, $I = 4 \int \left( \frac{1}{1 - 	an^2(	heta/2)} - 1 ight) d	heta$। इसका सरलीकरण $2 \log \left| \frac{1+	an(	heta/2)}{1-	an(	heta/2)} ight| - 2	heta + c$ होता है। $	an(	heta/2) = \sqrt{\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}}$ रखने पर, हमें $f(x) = \log \left( \frac{1+\sqrt{1-x}}{\sqrt{x}} ight)$ प्राप्त होता है।

यदि $\int \frac{1}{x} \sqrt{\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}} d x=2 f(x)-2 \operatorname{Sin}^{-1} \sqrt{x}+c$ है, तो $f(x)=$

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यदि $f(x) = \int \csc^5 x \ dx$ है,तो $f(\frac{\pi}{4}) = $

$\int \left[ \log(\log x) + \frac{1}{(\log x)^2} \right] dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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