यदि int(sqrt{operatorname{cosec} x+1}) d x=k | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) माना $I = \int \sqrt{\operatorname{cosec} x + 1} dx = \int \sqrt{\frac{1}{\sin x} + 1} dx = \int \sqrt{\frac{1 + \sin x}{\sin x}} dx$.$\sin x = \f

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{2}$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \sqrt{\operatorname{cosec} x + 1} dx = \int \sqrt{\frac{1}{\sin x} + 1} dx = \int \sqrt{\frac{1 + \sin x}{\sin x}} dx$.$\sin x = \frac{2 	an(x/2)}{1 + 	an^2(x/2)}$ और $1 + \sin x = (\sin(x/2) + \cos(x/2))^2$ का उपयोग करके, हम $u = 	an(x/2)$ और $dx = \frac{2}{1+u^2} du$ प्रतिस्थापन करते हैं।समाकलन $I = \int \sqrt{\frac{(1+u)^2}{2u}} \cdot \frac{2}{1+u^2} du = \sqrt{2} \int \frac{1+u}{\sqrt{u}(1+u^2)} du$ बन जाता है।माना $v = \sqrt{u}$, तो $dv = \frac{1}{2\sqrt{u}} du$, इसलिए $du = 2v dv$.$I = 2\sqrt{2} \int \frac{1+v^2}{1+v^4} dv = \sqrt{2} \int \frac{1+1/v^2}{v^2+1/v^2} dv = \sqrt{2} \int \frac{d(v-1/v)}{(v-1/v)^2 + 2} + \sqrt{2} \int \frac{d(v+1/v)}{(v+1/v)^2 - 2}$.इसका मूल्यांकन करने पर $I = 2 	an^{-1}\left(\frac{\sqrt{2	an(x/2)}}{1-	an(x/2)}ight) + c$ प्राप्त होता है।अतः, $k = 2$ और $f(x) = \frac{\sqrt{2	an(x/2)}}{1-	an(x/2)}$.$x = \pi/6$ के लिए, $	an(x/2) = 	an(\pi/12) = 2 - \sqrt{3}$.$f(\pi/6) = \frac{\sqrt{2(2-\sqrt{3})}}{1-(2-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{\sqrt{3}-1} = \frac{\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}}{\sqrt{3}-1} = 1$.इसलिए, $\frac{1}{k} f(\pi/6) = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

यदि $\int(\sqrt{\operatorname{cosec} x+1}) d x=k \tan ^{-1}(f(x))+c$ है, तो $\frac{1}{k} f\left(\frac{\pi}{6}\right)=$

Similar Questions

फलन का समाकलन कीजिए: $\frac{1}{\cos (x+a) \cos (x+b)}$

$\int\left(1+x-x^{-1}\right) e^{x+x^{-1}} d x$ का मान क्या है?

यदि $\int \frac{dx}{\sin^3 x + \cos^3 x} = A \log \left|\frac{\sqrt{2}+t}{\sqrt{2}-t}\right| + B \tan^{-1}(t) + c$ है,तो $\left(\frac{B}{A}, t\right) =$

$\int \operatorname{cosec}^5 x \, dx =$

फलन $\tan^{3} 2x \sec 2x$ का समाकलन ज्ञात कीजिए।

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module