यदि int e^x(sin^2 2x - 8 cos 4x) dx = e^x f(x | vedclass

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Question

(B) दिया गया समाकलन $I = \int e^x(\sin^2 2x - 8 \cos 4x) dx$ है। सर्वसमिका $\sin^2 2x = \frac{1 - \cos 4x}{2}$ का उपयोग करने पर: $I = \int e^x(\frac{1

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(B) दिया गया समाकलन $I = \int e^x(\sin^2 2x - 8 \cos 4x) dx$ है। सर्वसमिका $\sin^2 2x = \frac{1 - \cos 4x}{2}$ का उपयोग करने पर: $I = \int e^x(\frac{1 - \cos 4x}{2} - 8 \cos 4x) dx = \int e^x(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 4x - 8 \cos 4x) dx = \int e^x(\frac{1}{2} - \frac{17}{2} \cos 4x) dx$. अतः $I = \frac{1}{2} \int e^x dx - \frac{17}{2} \int e^x \cos 4x dx$. मानक सूत्र $\int e^{ax} \cos(bx) dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} (a \cos bx + b \sin bx)$ का उपयोग करने पर, $\int e^x \cos 4x dx = \frac{e^x}{1^2 + 4^2} (\cos 4x + 4 \sin 4x) = \frac{e^x}{17} (\cos 4x + 4 \sin 4x)$ प्राप्त होता है। मान रखने पर: $I = \frac{1}{2} e^x - \frac{17}{2} \cdot \frac{e^x}{17} (\cos 4x + 4 \sin 4x) + c = e^x (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 4x - 2 \sin 4x) + c$. अतः $f(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 4x - 2 \sin 4x$. $x = \frac{\pi}{4}$ पर मान ज्ञात करने पर: $f(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos(\pi) - 2 \sin(\pi) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}(-1) - 2(0) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

यदि $\int e^x(\sin^2 2x - 8 \cos 4x) dx = e^x f(x) + c$ है, तो $f(\frac{\pi}{4}) = $

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$\int e^x \left( \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} \right) dx = $ . . . . . . $+ c$.

$\int_{\pi / 4}^{\pi / 2} e^{x}(\log \sin x+\cot x) d x$ का मान है

$\int e^x \tan x(1+\tan x) \, dx = $ . . . . . . $+ C$.

$\int e^{x}\left(\frac{2}{x}-\frac{2}{x^2}\right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\int {{e^{{x^2}}}\left( {2 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx = {e^{{x^2}}}f(x) + C} $ और $f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 2$ है,तो $f(1)$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है)।

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