यदि $a = 2i + k$,$b = i + j + k$ और $c = 4i - 3j + 7k$ है। यदि $d \times b = c \times b$ और $d \cdot a = 0$ है,तो $d$ का मान क्या होगा?

$(a - b) \times (a + b) = $

मान लीजिए $\overline{a}=\alpha \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$,$\overline{b}=3 \hat{i}-\beta \hat{j}+4 \hat{k}$ और $\overline{c}=\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}$,जहाँ $\alpha, \beta \in R$,तीन सदिश हैं। यदि $\overline{a}$ का $\overline{c}$ पर प्रक्षेप $\frac{10}{3}$ है और $\overline{b} \times \overline{c}=-6 \hat{i}+10 \hat{j}+7 \hat{k}$ है,तो $\alpha^2+\beta^2-\alpha \beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि रेखाएं $L_1: \frac{x + 1}{3} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z + 1}{2}$ और $L_2: \frac{x - 2}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 3}{3}$ हैं। $L_1$ और $L_2$ दोनों के लंबवत इकाई सदिश ज्ञात कीजिए।

शीर्षों $A(2, 1, 1)$,$B(1, 2, 5)$,$C(-2, -3, 5)$ और $D(1, -6, -7)$ वाले चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल किसके बराबर है?

सदिश $\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$ के लंबवत और सदिशों $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ तथा $2 \hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$ के साथ समतलीय इकाई सदिश है