यदि A(3,2,3), B(1,4,6) और C(7,4,5) एक समांतर | vedclass

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Question

(A) समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में, विकर्ण $AC$ और $BD$ एक-दूसरे को बिंदु $M$ पर समद्विभाजित करते हैं।$M$, $AC$ का मध्य-बिंदु है, इसलिए $M = \left(\frac{3

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$\cos ^{-1}\left(\frac{16}{\sqrt{357}}\right)$

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(A) समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में, विकर्ण $AC$ और $BD$ एक-दूसरे को बिंदु $M$ पर समद्विभाजित करते हैं।$M$, $AC$ का मध्य-बिंदु है, इसलिए $M = \left(\frac{3+7}{2}, \frac{2+4}{2}, \frac{3+5}{2}ight) = (5, 3, 4)$.चूंकि $M$, $BD$ का भी मध्य-बिंदु है, मान लीजिए $D = (x, y, z)$ है। तब $\left(\frac{x+1}{2}, \frac{y+4}{2}, \frac{z+6}{2}ight) = (5, 3, 4)$.$x, y, z$ के लिए हल करने पर: $x+1=10 \Rightarrow x=9$; $y+4=6 \Rightarrow y=2$; $z+6=8 \Rightarrow z=2$. अतः, $D = (9, 2, 2)$.सदिश $\vec{DC} = (7-9, 4-2, 5-2) = (-2, 2, 3)$ है। दिक अनुपात $a_1 = -2, b_1 = 2, c_1 = 3$ हैं।सदिश $\vec{DB} = (1-9, 4-2, 6-2) = (-8, 2, 4)$ है। दिक अनुपात $a_2 = -8, b_2 = 2, c_2 = 4$ हैं।$\vec{DC}$ और $\vec{DB}$ के बीच का कोण $	heta$, $\cos 	heta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ द्वारा दिया जाता है।$\cos 	heta = \frac{|(-2)(-8) + (2)(2) + (3)(4)|}{\sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 3^2} \sqrt{(-8)^2 + 2^2 + 4^2}} = \frac{|16 + 4 + 12|}{\sqrt{4+4+9} \sqrt{64+4+16}} = \frac{32}{\sqrt{17} \sqrt{84}} = \frac{32}{\sqrt{17} \cdot 2\sqrt{21}} = \frac{16}{\sqrt{357}}$.इसलिए, $	heta = \cos ^{-1}\left(\frac{16}{\sqrt{357}}ight)$।

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