જો $A=(1,-1,2)$, $B=(3,4,-2)$, $C=(0,3,2)$ અને $D=(3,5,6)$ હોય, તો રેખાઓ $\overrightarrow{AB}$ અને $\overrightarrow{CD}$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો. ($^{\circ}$ માં)

જો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવતા બિંદુઓ સમતલીય હોય અને $(\sin A)\vec{a} + (2\sin 2B)\vec{b} + (3\sin 3C)\vec{c} - 4\vec{d} = \vec{0}$ હોય,તો $\frac{21}{8}(\sin^2 A + \sin^2 2B + \sin^2 3C)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.

જો $\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ અને $\vec{c} = \hat{i} + 3\hat{j} - (\lambda^2 + 3\lambda)\hat{k}$ (જ્યાં $\lambda$ એક અચળાંક છે) અને $\vec{a}$ એ $\vec{c} - \lambda\vec{b}$ ને લંબ હોય,તો $\lambda$ ના ભિન્ન મૂલ્યોનો સરવાળો કેટલો થાય?

જો $A = (k, 1, -1)$,$B = (2k, 0, 2)$ અને $C = (2 + 2k, k, 1)$ હોય અને $AB \perp BC$ હોય,તો $k$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો $\overrightarrow{a}=\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$ અને $\overrightarrow{b}=\lambda \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$ હોય અને $\overrightarrow{a}$ પર $\overrightarrow{b}$ નો લંબ પ્રક્ષેપ $\frac{4}{3}(\hat{i}-\hat{j}-\hat{k})$ હોય,તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એ ત્રિકોણ $ABC$ ના શિરોબિંદુઓના સ્થાન સદિશો છે. શિરોબિંદુઓમાંથી બાજુઓને સમાંતર રેખાઓ દોરીને ત્રિકોણ $A'B'C'$ બનાવવામાં આવે છે. તો $\Delta A'B'C'$ નું મધ્યકેન્દ્ર શું છે?