यदि $A(2,1,-1)$, $B(6,-3,2)$, और $C(-3,12,4)$ एक त्रिभुज $ABC$ के शीर्ष हैं और त्रिभुज $ABC$ को समाहित करने वाले समतल का समीकरण $53x + by + cz + d = 0$ है, तो $\frac{d}{b+c}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$A(1, -2, 1)$, $B(2, -1, -3)$ और $C(0, 1, 5)$ बिंदुओं से होकर जाने वाले समतल की मूल बिंदु से लंबवत दूरी (इकाई में) है

एक समतल $\pi_1$ जो बिंदु $3 \hat{i}-7 \hat{j}+5 \hat{k}$ से गुजरता है और सदिश $\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}$ के लंबवत है, और दूसरा समतल $\pi_2$ जो बिंदु $2 \hat{i}+7 \hat{j}-8 \hat{k}$ से गुजरता है और सदिश $3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}$ के लंबवत है। यदि $p_1$ और $p_2$ मूल बिंदु से समतलों $\pi_1$ और $\pi_2$ की लंबवत दूरियां हैं, तो $p_1-p_2=$

बिंदुओं $(2,-1,5)$,$(1,-3,4)$ और $(5,2,1)$ से गुजरने वाले समतल के अभिलंब की दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित मामलों में,निर्धारित करें कि क्या दिए गए समतल समानांतर हैं या लंबवत हैं,और यदि वे न तो समानांतर हैं और न ही लंबवत,तो उनके बीच का कोण ज्ञात करें।
$2x + y + 3z - 2 = 0$ और $x - 2y + 5 = 0$

बिंदु $(\alpha, \beta, \gamma)$ से गुजरने वाले और समतल $x + y + z = 0$ के समांतर समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।