यदि cos x और sin x अवकल समीकरण a_{0} frac{d^{ | vedclass

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Question

(A, B, D) माना $f(x)=\cos x$ और $g(x)=\sin x$. $f(x)$ और $g(x)$ का रोंस्कियन (Wronskian) लें।$W = \begin{vmatrix} f(x) & g(x) \ f'(x) & g'(x) \end{vm

Vedclass · Accepted Answer

$A \cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right)+B \sin \left(x -\frac{\pi}{4}\right)$ एक हल है, जहाँ $A$ और $B$ वास्तविक स्थिरांक हैं

Vedclass · Answer

(A, B, D) माना $f(x)=\cos x$ और $g(x)=\sin x$. $f(x)$ और $g(x)$ का रोंस्कियन (Wronskian) लें।$W = \begin{vmatrix} f(x) & g(x) \ f'(x) & g'(x) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos x & \sin x \ -\sin x & \cos x \end{vmatrix} = \cos^2 x + \sin^2 x = 1 
eq 0$.चूँकि रोंस्कियन शून्य नहीं है, फलन रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। व्यापक हल $y = A \cos x + B \sin x$ है।$(a)$ $A \cos x + B \sin x$ व्यापक हल है, इसलिए यह सत्य है।$(b)$ $A \cos(x + \frac{\pi}{4}) = A(\cos x \cos \frac{\pi}{4} - \sin x \sin \frac{\pi}{4}) = \frac{A}{\sqrt{2}} \cos x - \frac{A}{\sqrt{2}} \sin x$. यह $C_1 \cos x + C_2 \sin x$ के रूप में है, इसलिए यह सत्य है।$(c)$ $A \cos x \sin x = \frac{A}{2} \sin(2x)$, जो $A \cos x + B \sin x$ के रूप में नहीं है, इसलिए यह असत्य है।$(d)$ $A \cos(x + \frac{\pi}{4}) + B \sin(x - \frac{\pi}{4}) = A(\frac{\cos x - \sin x}{\sqrt{2}}) + B(\frac{\sin x - \cos x}{\sqrt{2}}) = \cos x(\frac{A-B}{\sqrt{2}}) + \sin x(\frac{B-A}{\sqrt{2}})$. यह $C_1 \cos x + C_2 \sin x$ के रूप में है, इसलिए यह सत्य है।

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