अवकल समीकरण x^2 frac{dy}{dx} - xy = 1 का हल ह | vedclass

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Question

(C) चरण $1$: अवकल समीकरण को मानक रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ में लिखें।$x^2$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y = \frac{1}{x^2

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$2xy - 2cx^2 + 1 = 0$

Vedclass · Answer

(C) चरण $1$: अवकल समीकरण को मानक रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ में लिखें।$x^2$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y = \frac{1}{x^2}$।चरण $2$: समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात करें: $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln|x|} = \frac{1}{x}$।चरण $3$: समीकरण को $IF$ से गुणा करें और समाकलन करें: $\frac{1}{x} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{x^2} y = \frac{1}{x^3}$।यह $\frac{d}{dx} (y \cdot \frac{1}{x}) = x^{-3}$ है।चरण $4$: दोनों पक्षों का समाकलन करें: $y \cdot \frac{1}{x} = \int x^{-3} dx = \frac{x^{-2}}{-2} + c = -\frac{1}{2x^2} + c$।चरण $5$: $2x^2$ से गुणा करने पर: $2xy = -1 + 2cx^2$, जिसे $2xy - 2cx^2 + 1 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

अवकल समीकरण $x^2 \frac{dy}{dx} - xy = 1$ का हल है...

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यदि $x(1 - x^2)dy + (2x^2y - y - ax^3)dx = 0$ का समाकलन गुणक (integrating factor) $e^{\int Pdx}$ है,तो $P$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $x = x(y)$ अवकल समीकरण $2y^2 \frac{dx}{dy} - 2xy + x^2 = 0, y > 1, x(e) = e$ का हल है। तो $x(e^2)$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि फलन $y = f(x)$ अवकल समीकरण $(x^3 + 1)dy = x(1 - 3xy)dx$ और $f(0) = 0$ को संतुष्ट करता है,तो $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x^2}{f(x)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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