माना कि अवकल समीकरण frac{dy}{dx} - frac{3x^5 | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{3x^5 	an^{-1}(x^3)}{(1+x^6)^{3/2}}$ और

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$\exp \left( \frac{4-\pi}{4 \sqrt{2}} \right)$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{3x^5 	an^{-1}(x^3)}{(1+x^6)^{3/2}}$ और $Q(x) = 2x \exp \left( \frac{x^3 - 	an^{-1}(x^3)}{\sqrt{1+x^6}} ight)$ है।सबसे पहले,हम समाकलन गुणक $(I.F.)$ ज्ञात करते हैं:$I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{3x^5 	an^{-1}(x^3)}{(1+x^6)^{3/2}} dx}$.माना $t = x^3$,तो $dt = 3x^2 dx$। समाकलन $\int -\frac{t 	an^{-1}(t)}{(1+t^2)^{3/2}} dt$ बन जाता है। खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,हमें $\frac{	an^{-1}(t) - t}{\sqrt{1+t^2}} = \frac{	an^{-1}(x^3) - x^3}{\sqrt{1+x^6}}$ प्राप्त होता है।अतः,$I.F. = \exp \left( \frac{	an^{-1}(x^3) - x^3}{\sqrt{1+x^6}} ight)$।सामान्य हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ है।$y \cdot \exp \left( \frac{	an^{-1}(x^3) - x^3}{\sqrt{1+x^6}} ight) = \int 2x \exp \left( \frac{x^3 - 	an^{-1}(x^3)}{\sqrt{1+x^6}} ight) \cdot \exp \left( \frac{	an^{-1}(x^3) - x^3}{\sqrt{1+x^6}} ight) dx + C$.$y \cdot \exp \left( \frac{	an^{-1}(x^3) - x^3}{\sqrt{1+x^6}} ight) = \int 2x dx + C = x^2 + C$.चूँकि वक्र मूल बिंदु $(0,0)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $0 \cdot e^0 = 0^2 + C$,जिससे $C = 0$ प्राप्त होता है।अतः,$y(x) = x^2 \exp \left( \frac{x^3 - 	an^{-1}(x^3)}{\sqrt{1+x^6}} ight)$।$x = 1$ पर,$y(1) = 1^2 \exp \left( \frac{1 - 	an^{-1}(1)}{\sqrt{1+1}} ight) = \exp \left( \frac{1 - \pi/4}{\sqrt{2}} ight) = \exp \left( \frac{4-\pi}{4 \sqrt{2}} ight)$।

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