मान लीजिए y=y(x) अवकल समीकरण sec x , dy + {2( | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\sec x \, dy = -\{2(1-x) 	an x + x(2-x)\} \, dx$ है। $\sec x$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = -\{2(1-x) \sin x + x(2-x

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$2$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $\sec x \, dy = -\{2(1-x) 	an x + x(2-x)\} \, dx$ है। $\sec x$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = -\{2(1-x) \sin x + x(2-x) \cos x\}$ प्राप्त होता है। यह सरल होकर $\frac{dy}{dx} = 2(x-1) \sin x + (x^2-2x) \cos x$ हो जाता है। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $y(x) = \int 2(x-1) \sin x \, dx + \int (x^2-2x) \cos x \, dx$. दूसरे पद के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर: $\int (x^2-2x) \cos x \, dx = (x^2-2x) \sin x - \int (2x-2) \sin x \, dx$. इसे प्रतिस्थापित करने पर: $y(x) = \int 2(x-1) \sin x \, dx + (x^2-2x) \sin x - \int 2(x-1) \sin x \, dx + C$. अतः,$y(x) = (x^2-2x) \sin x + C$. चूँकि $y(0)=2$ दिया गया है,$2 = (0^2-2(0)) \sin(0) + C$,जिसका अर्थ है $C=2$. इस प्रकार,$y(x) = (x^2-2x) \sin x + 2$. $x=2$ के लिए,$y(2) = (2^2-2(2)) \sin(2) + 2 = (4-4) \sin(2) + 2 = 2$.

मान लीजिए $y=y(x)$ अवकल समीकरण $\sec x \, dy + \{2(1-x) \tan x + x(2-x)\} \, dx = 0$ का हल है,जहाँ $y(0)=2$ है। तो $y(2)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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