ધારો કે વિકલ સમીકરણ frac{dy}{dx} - frac{3x^5 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{3x^5 	an^{-1}(x^3)}{(1+x^6)^{3/2}}$ અને $Q(x)

Vedclass · Accepted Answer

$\exp \left( \frac{4-\pi}{4 \sqrt{2}} \right)$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{3x^5 	an^{-1}(x^3)}{(1+x^6)^{3/2}}$ અને $Q(x) = 2x \exp \left( \frac{x^3 - 	an^{-1}(x^3)}{\sqrt{1+x^6}} ight)$.સૌ પ્રથમ,આપણે સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ શોધીએ:$I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{3x^5 	an^{-1}(x^3)}{(1+x^6)^{3/2}} dx}$.ધારો કે $t = x^3$,તો $dt = 3x^2 dx$. સંકલન $\int -\frac{t 	an^{-1}(t)}{(1+t^2)^{3/2}} dt$ બને છે. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{	an^{-1}(t) - t}{\sqrt{1+t^2}} = \frac{	an^{-1}(x^3) - x^3}{\sqrt{1+x^6}}$ મળે છે.તેથી,$I.F. = \exp \left( \frac{	an^{-1}(x^3) - x^3}{\sqrt{1+x^6}} ight)$.સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ છે.$y \cdot \exp \left( \frac{	an^{-1}(x^3) - x^3}{\sqrt{1+x^6}} ight) = \int 2x \exp \left( \frac{x^3 - 	an^{-1}(x^3)}{\sqrt{1+x^6}} ight) \cdot \exp \left( \frac{	an^{-1}(x^3) - x^3}{\sqrt{1+x^6}} ight) dx + C$.$y \cdot \exp \left( \frac{	an^{-1}(x^3) - x^3}{\sqrt{1+x^6}} ight) = \int 2x dx + C = x^2 + C$.વક્ર ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$0 \cdot e^0 = 0^2 + C$,તેથી $C = 0$.આમ,$y(x) = x^2 \exp \left( \frac{x^3 - 	an^{-1}(x^3)}{\sqrt{1+x^6}} ight)$.$x = 1$ માટે,$y(1) = 1^2 \exp \left( \frac{1 - 	an^{-1}(1)}{\sqrt{1+1}} ight) = \exp \left( \frac{1 - \pi/4}{\sqrt{2}} ight) = \exp \left( \frac{4-\pi}{4 \sqrt{2}} ight)$.

Similar Questions

$(y-3 x^2) d x+x d y=0$ નો ઉકેલ શોધો.

જો $x \, dy = y(dx + y \, dy)$,$y(1) = 1$,$y(x) > 0$ હોય,તો $y(-3)$ ની કિંમત શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(\tan ^{-1} y - x) dy = (1 + y^2) dx$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) . . . . . . છે.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\sin x \frac{dy}{dx}+y \cos x=4x, x \in(0, \pi)$ નો ઉકેલ છે. જો $y\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ હોય,તો $y\left(\frac{\pi}{6}\right)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module