यदि $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}$ है, तो आव्यूह $(A^{2025} - 3A^{2024} + A^{2023})$ का सारणिक क्या है?

मान लीजिए कि $A$ और $B$ दो $3 \times 3$ नॉन-सिंगुलर आव्यूह हैं, इस प्रकार कि $\operatorname{det}(A^T B A) = 27$ और $\operatorname{det}(A B^{-1}) = 8$ है। तो $\operatorname{det}(B^T A^{-1} B) = $

मान लीजिए $\alpha, \beta$ समीकरण $ax^2+bx+c=0$ के मूल हैं, जहाँ $a, b, c$ वास्तविक हैं। यदि $s_n = \alpha^n + \beta^n$ और $\left|\begin{array}{ccc}3 & 1+s_1 & 1+s_2 \\ 1+s_1 & 1+s_2 & 1+s_3 \\ 1+s_2 & 1+s_3 & 1+s_4\end{array}\right| = k \frac{(a+b+c)^2}{a^4}$ है, तो $k =$

यदि $A, B$ कोटि $3$ के दो व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं और $|B|=k$, जहाँ $k$ एक धनात्मक पूर्णांक है, तो सूची-$I$ के मदों का सूची-$II$ के मदों से मिलान करें।

सूची-$I$	सूची-$II$
$A$. $|k^{-1} A^{-1}|$	$I$. $BA^k + A^kB$
$B$. $|\text{Adj}(A^{-1})|$	$II$. $\frac{B\text{Adj}(B)}{|B|}$
$C$. $BAB^{-1} = I \Rightarrow BA^kB^{-1} =$	$III$. $\frac{1}{|B|^3|A|}$
$D$. $\text{Adj}(\text{Adj}(A^{-1})) =$	$IV$. $\frac{1}{|A|}(A^{-1})$
	$V$. $\frac{1}{|A|^2}$

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{51} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ है। यदि $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} A \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ है,तो आव्यूह $\sum_{n=1}^{50} B^n$ के सभी अवयवों का योग क्या होगा?

यदि $3^{\text{rd}}$ क्रम के आव्यूह $A$ का सारणिक $K$ है,तो आव्यूहों $(AA^T)$ और $(A-A^T)$ के सारणिकों का योग क्या होगा?