मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{51} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ है। यदि $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} A \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ है,तो आव्यूह $\sum_{n=1}^{50} B^n$ के सभी अवयवों का योग क्या होगा?

$3$ क्रम के एक वर्ग आव्यूह $A$ में,$a_{ii} = i + m_i$,जहाँ $i = 1, 2, 3$ और $m_i$ परवलय $y^2 = 4x$ के बिंदु $(9, -6)$ पर संगामी $3$ अभिलंबों की प्रवणताएँ हैं (उनके निरपेक्ष मान के बढ़ते क्रम में)। आव्यूह के अन्य सभी प्रविष्टियाँ $1$ हैं। $\det(A)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $a_1, a_2, \dots$ वास्तविक संख्याएँ हैं,जहाँ $a_1 \neq 0$ है। यदि $a_1, a_2, a_3, \dots$ एक $A.P.$ में हैं,तो:

मान लीजिए $\alpha \in(0, \infty)$ और $A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & \alpha \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ है। यदि $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(2A-A^{T}) \cdot \operatorname{adj}(A-2A^{T}))=2^8$ है,तो $(\operatorname{det}(A))^2$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $a_1, a_2, a_3, \dots, a_{10}$ एक $G.P.$ में हैं जहाँ $i = 1, 2, \dots, 10$ के लिए $a_i > 0$ है और $S$ उन युग्मों $(r, k)$ का समुच्चय है,$r, k \in N$ (प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय) जिनके लिए
$\left| \begin{array}{ccc} \log_e(a_1^r a_2^k) & \log_e(a_2^r a_3^k) & \log_e(a_3^r a_4^k) \\ \log_e(a_4^r a_5^k) & \log_e(a_5^r a_6^k) & \log_e(a_6^r a_7^k) \\ \log_e(a_7^r a_8^k) & \log_e(a_8^r a_9^k) & \log_e(a_9^r a_{10}^k) \end{array} \right| = 0$
तो $S$ में अवयवों की संख्या है:

यदि $A$ और $B$ समान कोटि के दो वर्ग आव्यूह हैं और $(AB+BA)^{T}+(AB-BA)^{T}=2BA$ है, तो: