ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{51} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$. જો $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} A \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ હોય,તો શ્રેણિક $\sum_{n=1}^{50} B^n$ ના તમામ ઘટકોનો સરવાળો કેટલો થાય?

નીચેના સુરેખ સમીકરણો ધ્યાનમાં લો:
$ax+by+cz=0$,$bx+cy+az=0$,$cx+ay+bz=0$
કોલમ $I$ માં આપેલી શરતો/પદાવલિઓને કોલમ $II$ માં આપેલા વિધાનો સાથે જોડો:

કોલમ $I$	કોલમ $II$
$(A)$ $a+b+c \neq 0$ અને $a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$	$(p)$ સમીકરણો માત્ર એક બિંદુએ મળતા સમતલો દર્શાવે છે.
$(B)$ $a+b+c=0$ અને $a^2+b^2+c^2 \neq ab+bc+ca$	$(q)$ સમીકરણો $x=y=z$ રેખા દર્શાવે છે.
$(C)$ $a+b+c \neq 0$ અને $a^2+b^2+c^2 \neq ab+bc+ca$	$(r)$ સમીકરણો સમાન સમતલો દર્શાવે છે.
$(D)$ $a+b+c=0$ અને $a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$	$(s)$ સમીકરણો સમગ્ર ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશ દર્શાવે છે.

ધારો કે $z = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}$, જ્યાં $i = \sqrt{-1}$, અને $r, s \in \{1, 2, 3\}$. ધારો કે $P = \begin{bmatrix} (-z)^r & z^{2s} \\ z^{2s} & z^r \end{bmatrix}$ અને $I$ એ $2$ કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે. તો $(r, s)$ ની એવી ક્રમયુક્ત જોડોની કુલ સંખ્યા શોધો જેના માટે $P^2 = -I$ થાય.

જો $A = \left\{ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} : a, b, c, d \in \{-1, 1\} \right\}$ હોય,તો $A$ માં અસામાન્ય (singular) શ્રેણિકોની સંખ્યા કેટલી છે?

$A = [a_{ij}]$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે જેના ઘટકો ધન પૂર્ણાંકો છે. $A$ ના ઘટકો એવા છે કે દરેક હારના તમામ ઘટકોનો સરવાળો $6$ થાય છે અને $a_{22} = 2$ છે. જો $i = 1, 2, 3$ માટે $a_{ii} = \begin{cases} a_{ij} + a_{ji}, & j = i + 1 \text{ જ્યારે } i < 3 \\ a_{ij} + a_{ji}, & j = 4 - i \text{ જ્યારે } i = 3 \end{cases}$ હોય, તો $|A| = $

ધારો કે $S = \left\{ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} : a, b, c, d \in \{0, 1, 2, 3, 4 \} \text{ અને } A^2 - 4A + 3I = 0 \right\}$ એ $2 \times 2$ શ્રેણિકોનો ગણ છે. તો $S$ માં એવા કેટલા શ્રેણિકો છે, જેના માટે વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો $4$ થાય?