मान लीजिए $a_1, a_2, \dots$ वास्तविक संख्याएँ हैं,जहाँ $a_1 \neq 0$ है। यदि $a_1, a_2, a_3, \dots$ एक $A.P.$ में हैं,तो:

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 2 & -5 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$ है। यदि $f(x) = x^3 - 2x^2 - 5$ है,तो $f(A)$ क्या होगा?

माना $p$ एक विषम अभाज्य संख्या है और $T_p$ निम्नलिखित $2 \times 2$ आव्यूहों का समुच्चय है:
$T_p = \left\{ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & a \end{bmatrix} : a, b, c \in \{0, 1, \ldots, p-1\} \right\}$
$1.$ $T_p$ में ऐसे आव्यूहों $A$ की संख्या ज्ञात कीजिए जो या तो सममित हैं या विषम-सममित हैं या दोनों हैं,और $\det(A)$,$p$ से विभाज्य है:
$(A) (p-1)^2$ $(B) 2(p-1)$ $(C) (p-1)^2+1$ $(D) 2p-1$
$2.$ $T_p$ में ऐसे आव्यूहों $A$ की संख्या ज्ञात कीजिए जिनका ट्रेस $p$ से विभाज्य नहीं है लेकिन $\det(A)$,$p$ से विभाज्य है:
$(A) (p-1)(p^2-p+1)$ $(B) p^3-(p-1)^2$ $(C) (p-1)^2$ $(D) (p-1)(p^2-2)$
$3.$ $T_p$ में ऐसे आव्यूहों $A$ की संख्या ज्ञात कीजिए जिनका $\det(A)$,$p$ से विभाज्य नहीं है:
$(A) 2p^2$ $(B) p^3-5p$ $(C) p^3-3p$ $(D) p^3-p^2$

मान लीजिए $M$ वास्तविक प्रविष्टियों वाला एक $3 \times 3$ व्युत्क्रमणीय आव्यूह है और $I$,$3 \times 3$ तत्समक आव्यूह है। यदि $M^{-1} = \operatorname{adj}(\operatorname{adj} M)$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $ALWAYS \text{ } TRUE$ है/हैं?

मान लीजिए कि पूर्णांक $a, b \in [-3, 3]$ इस प्रकार हैं कि $a + b \neq 0$ है। तो सभी संभावित क्रमित युग्मों $(a, b)$ की संख्या,जिसके लिए $|\frac{z-a}{z+b}|=1$ और $\left|\begin{array}{ccc}z+1 & \omega & \omega^2 \\ \omega & z+\omega^2 & 1 \\ \omega^2 & 1 & z+\omega\end{array}\right|=1$ किसी $z \in \mathbb{C}$ के लिए,जहाँ $\omega$ और $\omega^2$ समीकरण $x^2+x+1=0$ के मूल हैं,बराबर है . . . . . .

यदि $A$ और $B$ क्रम $3$ के वर्ग आव्यूह हैं,इस प्रकार कि $(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$,तो $(ABA^{-1})^2$ किसके बराबर है?