यदि f(x) = begin{cases} frac{sin [x]}{[x] + 1 | vedclass

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Question

(A) $f(x)$ के $x = 0$ पर संतत होने के लिए,शर्त $\lim_{x 	o 0^-} f(x) = \lim_{x 	o 0^+} f(x) = f(0)$ का पालन होना चाहिए।सबसे पहले,$x = 0$ पर बाएँ पक्

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$0$ के बराबर

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(A) $f(x)$ के $x = 0$ पर संतत होने के लिए,शर्त $\lim_{x 	o 0^-} f(x) = \lim_{x 	o 0^+} f(x) = f(0)$ का पालन होना चाहिए।सबसे पहले,$x = 0$ पर बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$ की गणना करें:$\lim_{x 	o 0^-} f(x) = \lim_{h 	o 0} f(0 - h) = \lim_{h 	o 0} \frac{\cos \frac{\pi}{2}[-h]}{[-h]}$.चूँकि $h > 0$ एक बहुत छोटी धनात्मक संख्या है,इसलिए $[-h] = -1$.अतः,$\lim_{h 	o 0} \frac{\cos \frac{\pi}{2}(-1)}{-1} = \frac{\cos(-\frac{\pi}{2})}{-1} = \frac{0}{-1} = 0$.इसके बाद,$x = 0$ पर दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ की गणना करें:$\lim_{x 	o 0^+} f(x) = \lim_{h 	o 0} f(0 + h) = \lim_{h 	o 0} \frac{\sin [h]}{[h] + 1}$.चूँकि $h > 0$ एक बहुत छोटी धनात्मक संख्या है,इसलिए $[h] = 0$.अतः,$\lim_{h 	o 0} \frac{\sin(0)}{0 + 1} = \frac{0}{1} = 0$.चूँकि $	ext{LHL} = 	ext{RHL} = 0$ है,इसलिए फलन के संतत होने के लिए $f(0) = k$ का मान $0$ होना चाहिए।

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