यदि sin^{-1}(x - 2) + cos^{-1}(x) + tan^{-1}( | vedclass

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Question

(B) $\sin^{-1}(x-2)$ का प्रांत $[1, 3]$, $\cos^{-1}(x)$ का $[-1, 1]$, $	an^{-1}(x+2)$ का $(-\infty, \infty)$, और $\cot^{-1}(x+4)$ का $(-\infty, \inft

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$\frac{31}{32}$

Vedclass · Answer

(B) $\sin^{-1}(x-2)$ का प्रांत $[1, 3]$, $\cos^{-1}(x)$ का $[-1, 1]$, $	an^{-1}(x+2)$ का $(-\infty, \infty)$, और $\cot^{-1}(x+4)$ का $(-\infty, \infty)$ है।इन प्रांतों का प्रतिच्छेदन $\{1\}$ है।समीकरण में $x = 1$ रखने पर:$-\frac{\pi}{2} + 0 + 	an^{-1}(3) + \cot^{-1}(5) = \sec^{-1}(\sqrt{k}) - \frac{\pi}{2}$$	an^{-1}(3) + \cot^{-1}(5) = \sec^{-1}(\sqrt{k})$$	an^{-1}(3) = \cot^{-1}(1/3)$ का उपयोग करने पर, $\cot^{-1}(1/3) + \cot^{-1}(5) = \sec^{-1}(\sqrt{k})$ प्राप्त होता है।माना $\alpha = \cot^{-1}(1/3)$ और $\beta = \cot^{-1}(5)$ है। तब $\cot(\alpha + \beta) = \frac{(1/3)(5) - 1}{1/3 + 5} = \frac{2/3}{16/3} = \frac{1}{8}$।अतः, $\alpha + \beta = \cot^{-1}(1/8) = 	an^{-1}(8) = \sec^{-1}(\sqrt{65})$।इस प्रकार, $\sqrt{k} = \sqrt{65}$, जिससे $k = 65$ प्राप्त होता है।हमें $\cos(2 \csc^{-1}\sqrt{65-1}) = \cos(2 \csc^{-1}(8))$ का मान ज्ञात करना है।माना $	heta = \csc^{-1}(8)$, तो $\sin 	heta = 1/8$ है।तब $\cos(2	heta) = 1 - 2\sin^2 	heta = 1 - 2(1/8)^2 = 1 - 1/32 = \frac{31}{32}$।

यदि $\sin^{-1}(x - 2) + \cos^{-1}(x) + \tan^{-1}(x + 2) + \cot^{-1}(x + 4) = \sec^{-1}(\sqrt{k}) - \frac{\pi}{2}$ है, तो $\cos(2 \csc^{-1}\sqrt{k - 1}) = \dots$

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