यदि 0 le x le 1 और (sin^{-1} x)^3 + (cos^{-1} | vedclass

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Question

(A) माना $u = \sin^{-1} x$ है। चूँकि $0 \le x \le 1$, इसलिए $0 \le u \le \frac{\pi}{2}$ है।तब $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - u$ है।व्यंजक $f(u) = u^3

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$a \ge \frac{1}{32}$

Vedclass · Answer

(A) माना $u = \sin^{-1} x$ है। चूँकि $0 \le x \le 1$, इसलिए $0 \le u \le \frac{\pi}{2}$ है।तब $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - u$ है।व्यंजक $f(u) = u^3 + (\frac{\pi}{2} - u)^3$ हो जाता है, जहाँ $u \in [0, \frac{\pi}{2}]$ है।$f(u) = u^3 + \frac{\pi^3}{8} - \frac{3\pi^2}{4}u + \frac{3\pi}{2}u^2 - u^3 = \frac{3\pi}{2}u^2 - \frac{3\pi^2}{4}u + \frac{\pi^3}{8}$ है।परिसर ज्ञात करने के लिए, क्रांतिक बिंदु ज्ञात करें: $f'(u) = 3\pi u - \frac{3\pi^2}{4} = 0 \implies u = \frac{\pi}{4}$ है।$u = 0$ पर, $f(0) = \frac{\pi^3}{8}$ है।$u = \frac{\pi}{4}$ पर, $f(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\pi}{4})^3 + (\frac{\pi}{4})^3 = 2(\frac{\pi^3}{64}) = \frac{\pi^3}{32}$ है।$u = \frac{\pi}{2}$ पर, $f(\frac{\pi}{2}) = (\frac{\pi}{2})^3 + 0 = \frac{\pi^3}{8}$ है।अतः, न्यूनतम मान $\frac{\pi^3}{32}$ है और अधिकतम मान $\frac{\pi^3}{8}$ है।दिया गया है $a\pi^3 = f(u)$, इसलिए $\frac{\pi^3}{32} \le a\pi^3 \le \frac{\pi^3}{8}$, जिससे $\frac{1}{32} \le a \le \frac{1}{8}$ प्राप्त होता है।इसका अर्थ है $a \ge \frac{1}{32}$।

यदि $0 \le x \le 1$ और $(\sin^{-1} x)^3 + (\cos^{-1} x)^3 = a\pi^3$ है, तो $a$ का परिसर ज्ञात कीजिए।

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