यदि int frac{x + 1}{x^2 + 1} dx = tan^{-1} x | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $\int \frac{x + 1}{x^2 + 1} dx = \int \frac{x}{x^2 + 1} dx + \int \frac{1}{x^2 + 1} dx$।$= \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + 	an^{-1} x + c$

Vedclass · Accepted Answer

$R^+$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $\int \frac{x + 1}{x^2 + 1} dx = \int \frac{x}{x^2 + 1} dx + \int \frac{1}{x^2 + 1} dx$।$= \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + 	an^{-1} x + c$।इसे दिए गए व्यंजक $	an^{-1} x + g(x) + c$ से तुलना करने पर, हमें $g(x) = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1)$ प्राप्त होता है।यह ज्ञात करने के लिए कि $g(x)$ कहाँ वर्धमान है, हम इसका अवकलज ज्ञात करते हैं: $g'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{x}{x^2 + 1}$।$g(x)$ के वर्धमान होने के लिए, $g'(x) > 0$ होना चाहिए।$\frac{x}{x^2 + 1} > 0$। चूँकि सभी $x \in R$ के लिए $x^2 + 1 > 0$ है, इसलिए $x > 0$ होना चाहिए।अतः, $g(x)$ अंतराल $(0, \infty)$ में वर्धमान है, जो कि $R^+$ है।

यदि $\int \frac{x + 1}{x^2 + 1} dx = \tan^{-1} x + g(x) + c$, जहाँ $c$ समाकलन स्थिरांक है, तो फलन $g(x)$ किस अंतराल में वर्धमान (monotonically increasing) है?

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$\int \frac{1-\cos x}{1+\cos x} d x=$ . . . . . . $+C$.

$\int \sec^2 x \csc^2 x \, dx = $ . . . . . . $+ C$

$\int \frac{x + 1}{\sqrt{1 + x^2}} dx = $

यदि $\int \tan ^4 x dx = a \tan ^3 x + b \tan x + c x + k$ (जहाँ $k$ समाकलन का स्थिरांक है),तो $a - b + c$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \, dx = $ (जहाँ $C$ समाकलन का एक स्थिरांक है।)

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