यदि f(x) = frac{1}{x + 1} - log(1 + x),जहाँ x | vedclass

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Question

(B) दिया गया फलन: $f(x) = \frac{1}{x + 1} - \log(1 + x)$.यह निर्धारित करने के लिए कि फलन वर्धमान है या ह्रासमान,हम $x$ के सापेक्ष इसका अवकलज $f'(x)$ ज

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एक ह्रासमान फलन

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(B) दिया गया फलन: $f(x) = \frac{1}{x + 1} - \log(1 + x)$.यह निर्धारित करने के लिए कि फलन वर्धमान है या ह्रासमान,हम $x$ के सापेक्ष इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x + 1} \right) - \frac{d}{dx} (\log(1 + x))$$f'(x) = -\frac{1}{(x + 1)^2} - \frac{1}{1 + x}$.हम ऋण चिह्न को उभयनिष्ठ ले सकते हैं:$f'(x) = - \left[ \frac{1}{(x + 1)^2} + \frac{1}{x + 1} \right]$.चूँकि $x > 0$,इसलिए $(x + 1)$ और $(x + 1)^2$ दोनों धनात्मक हैं।अतः,सभी $x > 0$ के लिए $\frac{1}{(x + 1)^2} + \frac{1}{x + 1} > 0$ है।यह दर्शाता है कि सभी $x > 0$ के लिए $f'(x) चूँकि अवकलज $f'(x)$ दिए गए प्रांत में सभी $x$ के लिए ऋणात्मक है,इसलिए फलन $f(x)$ एक ह्रासमान फलन है।

यदि $f(x) = \frac{1}{x + 1} - \log(1 + x)$,जहाँ $x > 0$,तो $f$ है:

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