यदि {I_n} = int_0^{pi /4} {{tan ^n}theta ,dth | vedclass

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Question

(D) हमें ${I_n} = \int_0^{\pi /4} {{	an ^n}	heta \,d	heta }$ दिया गया है। ${I_n} + {I_{n-2}} = \int_0^{\pi /4} {{	an ^n}	heta \,d	heta } + \int_

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$\frac{1}{7}$

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(D) हमें ${I_n} = \int_0^{\pi /4} {{	an ^n}	heta \,d	heta }$ दिया गया है। ${I_n} + {I_{n-2}} = \int_0^{\pi /4} {{	an ^n}	heta \,d	heta } + \int_0^{\pi /4} {{	an ^{n-2}}	heta \,d	heta }$ पर विचार करें। ${I_n} + {I_{n-2}} = \int_0^{\pi /4} {{	an ^{n-2}}	heta (	an ^2	heta + 1) \,d	heta }$. चूंकि $1 + 	an ^2	heta = \sec ^2	heta$,हमें प्राप्त होता है: ${I_n} + {I_{n-2}} = \int_0^{\pi /4} {{	an ^{n-2}}	heta \sec ^2	heta \,d	heta }$. माना $u = 	an 	heta$,तब $du = \sec ^2	heta \,d	heta$. जब $	heta = 0, u = 0$ और जब $	heta = \pi /4, u = 1$. अतः,${I_n} + {I_{n-2}} = \int_0^1 {u^{n-2}} \,du = \left[ \frac{u^{n-1}}{n-1} ight]_0^1 = \frac{1}{n-1}$. $n = 8$ के लिए,${I_8} + {I_6} = \frac{1}{8-1} = \frac{1}{7}$.

यदि ${I_n} = \int_0^{\pi /4} {{\tan ^n}\theta \,d\theta }$ है,तो ${I_8} + {I_6}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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