यदि F(x) = int_{x^2}^{x^3} log t , dt (x 0) | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $F(x) = \int_{x^2}^{x^3} \log t \, dt$। लीबनीज़ के समाकलन नियम का उपयोग करते हुए,जो कहता है कि $\frac{d}{dx} \int_{g(x)}^{h(x)} f(t) \

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$(9x^2 - 4x)\log x$

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(A) दिया गया है $F(x) = \int_{x^2}^{x^3} \log t \, dt$। लीबनीज़ के समाकलन नियम का उपयोग करते हुए,जो कहता है कि $\frac{d}{dx} \int_{g(x)}^{h(x)} f(t) \, dt = f(h(x)) \cdot h'(x) - f(g(x)) \cdot g'(x)$। यहाँ,$f(t) = \log t$,$h(x) = x^3$,और $g(x) = x^2$ है। अतः,$F'(x) = \log(x^3) \cdot \frac{d}{dx}(x^3) - \log(x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x^2)$। $F'(x) = (3 \log x) \cdot (3x^2) - (2 \log x) \cdot (2x)$। $F'(x) = 9x^2 \log x - 4x \log x$। $F'(x) = (9x^2 - 4x) \log x$।

यदि $F(x) = \int_{x^2}^{x^3} \log t \, dt$ $(x > 0)$ है,तो $F'(x) = $

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मान लीजिए $f(x) = \int_{\sin x}^{\cos x} e^{-t^2} dt$. तो $f^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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