यदि xdy = y(dx + ydy), y 0 और y(1) = 1 है,त | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $xdy = y(dx + ydy)$ है।दोनों पक्षों को $y^2$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{xdy - ydx}{y^2} = dy$ प्राप्त होता है।इसे $-d(\fr

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$3$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण $xdy = y(dx + ydy)$ है।दोनों पक्षों को $y^2$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{xdy - ydx}{y^2} = dy$ प्राप्त होता है।इसे $-d(\frac{x}{y}) = dy$ के रूप में लिखा जा सकता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $-\frac{x}{y} = y + C$ प्राप्त होता है,जो $\frac{x}{y} + y = C$ में सरल हो जाता है।चूँकि $y(1) = 1$ दिया गया है,$x=1$ और $y=1$ प्रतिस्थापित करने पर $\frac{1}{1} + 1 = C$ प्राप्त होता है,अतः $C = 2$ है।समीकरण $\frac{x}{y} + y = 2$ बन जाता है,या $x + y^2 = 2y$,जो $y^2 - 2y + x = 0$ है।$x = -3$ के लिए,समीकरण $y^2 - 2y - 3 = 0$ है।द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(y - 3)(y + 1) = 0$ प्राप्त होता है।इस प्रकार,$y = 3$ या $y = -1$ है।चूँकि शर्त $y > 0$ दी गई है,इसलिए $y = 3$ है।

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A)$ अवकल समीकरण $(x-3)^2 y^{\prime}+y=0$ के शून्येतर हलों के प्रांत में निहित अंतराल	$(p)$ $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$
$(B)$ समाकलन $\int_1^5(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) dx$ का मान रखने वाला अंतराल	$(q)$ $(0, \frac{\pi}{2})$
$(C)$ अंतराल जिसमें $\cos^2 x+\sin x$ के स्थानीय उच्चतम बिंदुओं में से कम से कम एक बिंदु स्थित है	$(r)$ $(\frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{4})$
$(D)$ अंतराल जिसमें $\tan^{-1}(\sin x+\cos x)$ वर्धमान है	$(s)$ $(0, \frac{\pi}{8})$
	$(t)$ $(-\pi, \pi)$

यदि $xdy = y(dx + ydy), y > 0$ और $y(1) = 1$ है,तो $y(-3)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $2xy^3dx + x^2y^2dy = ydx - xdy$ और $y(2) = 1$ है,तो $y(-1)$ का मान क्या होगा (जहाँ $y(x)$ दिए गए $x$ के लिए $y$ का मान दर्शाता है):

अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{x^2}$ का हल है

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