જો $xdy = y(dx + ydy), y > 0$ અને $y(1) = 1$ હોય,તો $y(-3)$ ની કિંમત શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dx}{dy} = \frac{3y}{2x}$ એ અતિવલયના કુળનું નિરૂપણ કરે છે (જ્યારે તે રેખાઓની જોડીનું નિરૂપણ કરે છે તે સિવાય),તો તેની ઉત્કેન્દ્રતા કેટલી હશે?

બધા વર્તુળોના પરિવારને ધ્યાનમાં લો જેના કેન્દ્રો સીધી રેખા $y = x$ પર આવેલા છે. જો આ વર્તુળોના પરિવારને વિકલ સમીકરણ $P y^{\prime \prime} + Q y^{\prime} + 1 = 0$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે,જ્યાં $P, Q$ એ $x, y$ અને $y^{\prime}$ ના વિધેયો છે (અહીં $y^{\prime} = \frac{dy}{dx}, y^{\prime \prime} = \frac{d^2y}{dx^2}$),તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A) P = y + x$
$(B) P = y - x$
$(C) P + Q = 1 - x + y + y^{\prime} + (y^{\prime})^2$
$(D) P - Q = x + y - y^{\prime} - (y^{\prime})^2$

$y = 2x\left( \frac{dy}{dx} \right) + x^2\left( \frac{dy}{dx} \right)^4$ નો ઉકેલ શું છે?

જો રૂપાંતરણ $z = \log \tan \frac{x}{2}$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2 y}{d x^2} + \cot x \frac{d y}{d x} + 4 y \operatorname{cosec}^2 x = 0$ ને $\frac{d^2 y}{d z^2} + k y = 0$ સ્વરૂપમાં ઘટાડે છે, તો $k$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f:(-1,1) \rightarrow R$ એ એક વિકલનીય વિધેય છે જે તમામ $x \in (-1,1)$ માટે $(f^{\prime}(x))^4 = 16(f(x))^2$ અને $f(0)=0$ નું પાલન કરે છે. આવા વિધેયોની સંખ્યા કેટલી છે?