$y = 2x\left( \frac{dy}{dx} \right) + x^2\left( \frac{dy}{dx} \right)^4$ નો ઉકેલ શું છે?

જો $xdy = y(dx + ydy), y > 0$ અને $y(1) = 1$ હોય,તો $y(-3)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $b$ એ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યા છે. ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f(0)=1$. જો $f$ નું વિકલિત $f^{\prime}$ એ સમીકરણ $f^{\prime}(x) = \frac{f(x)}{b^2+x^2}$ નું પાલન કરે છે,તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન/વિધાનો $TRUE$ છે?
$(A)$ જો $b>0$ હોય,તો $f$ એ વધતું વિધેય છે
$(B)$ જો $b < 0$ હોય,તો $f$ એ ઘટતું વિધેય છે
$(C)$ $f(x)f(-x)=1$ દરેક $x \in R$ માટે
$(D)$ $f(x)-f(-x)=0$ દરેક $x \in R$ માટે

વક્ર $y=y(x)$ પરના કોઈપણ બિંદુ $(x, y), x > 0, y > 0$ પર અભિલંબનો ઢાળ $\frac{x^{2}}{x y-x^{2} y^{2}-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો વક્ર બિંદુ $(1, 1)$ માંથી પસાર થાય,તો $e \cdot y(e)$ ની કિંમત શોધો.

નીચેનામાંથી કયો વક્ર પ્રારંભિક મૂલ્ય સમસ્યા $Dy = 100 - y$ નો ઉકેલ દર્શાવે છે,જ્યાં $y(0) = 50$?

$(1 + xy)y\,dx + (1 - xy)x\,dy = 0$ નો ઉકેલ શોધો.