यदि f(y) = e^y,g(y) = y जहाँ y 0 और F(t) = | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $F(t) = \int_{0}^{t} f(t - y) g(y) dy$. दिए गए फलनों $f(y) = e^y$ और $g(y) = y$ को प्रतिस्थापित करने पर: $F(t) = \int_{0}^{t} e^{t - y

Vedclass · Accepted Answer

$F(t) = e^t - (1 + t)$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है $F(t) = \int_{0}^{t} f(t - y) g(y) dy$. दिए गए फलनों $f(y) = e^y$ और $g(y) = y$ को प्रतिस्थापित करने पर: $F(t) = \int_{0}^{t} e^{t - y} y dy = e^t \int_{0}^{t} y e^{-y} dy$. $\int y e^{-y} dy$ के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर: माना $u = y$ और $dv = e^{-y} dy$. तब $du = dy$ और $v = -e^{-y}$. $\int y e^{-y} dy = -y e^{-y} - \int (-e^{-y}) dy = -y e^{-y} - e^{-y}$. $0$ से $t$ तक निश्चित समाकलन का मान ज्ञात करने पर: $F(t) = e^t [ -y e^{-y} - e^{-y} ]_{0}^{t} = e^t [ (-t e^{-t} - e^{-t}) - (0 - 1) ]$. $F(t) = e^t [ -t e^{-t} - e^{-t} + 1 ] = -t - 1 + e^t$. अतः,$F(t) = e^t - (1 + t)$.

यदि $f(y) = e^y$,$g(y) = y$ जहाँ $y > 0$ और $F(t) = \int_{0}^{t} f(t - y) g(y) dy$ है,तो:

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