यदि f(x) = 2 sin^{-1} sqrt{1-x} + sin^{-1} (2 | vedclass

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Question

(B) माना $x = \sin^2 	heta$. चूँकि $x \in (0, 1/2)$,इसलिए $	heta \in (0, \pi/4)$ है।अतः $\sqrt{1-x} = \sqrt{1-\sin^2 	heta} = \cos 	heta$.साथ ही,$

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(B) माना $x = \sin^2 	heta$. चूँकि $x \in (0, 1/2)$,इसलिए $	heta \in (0, \pi/4)$ है।अतः $\sqrt{1-x} = \sqrt{1-\sin^2 	heta} = \cos 	heta$.साथ ही,$\sqrt{x(1-x)} = \sqrt{\sin^2 	heta \cos^2 	heta} = \sin 	heta \cos 	heta = \frac{1}{2} \sin 2	heta$.इन मानों को $f(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:$f(x) = 2 \sin^{-1}(\cos 	heta) + \sin^{-1}(2 \cdot \frac{1}{2} \sin 2	heta)$$f(x) = 2 \sin^{-1}(\sin(\pi/2 - 	heta)) + \sin^{-1}(\sin 2	heta)$चूँकि $	heta \in (0, \pi/4)$,इसलिए $(\pi/2 - 	heta) \in (\pi/4, \pi/2)$ और $2	heta \in (0, \pi/2)$ है।इस प्रकार,$f(x) = 2(\pi/2 - 	heta) + 2	heta = \pi - 2	heta + 2	heta = \pi$.चूँकि $f(x) = \pi$ एक अचर फलन है,इसलिए इसका अवकलज $f'(x) = 0$ होगा।

सूची-$I$	सूची-$II$
$A$. $\sin ^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{2}}{3}\right)+\sin ^{-1} \frac{1}{3}$	$I$. $k \pi \pm(-1)^k \frac{\pi}{6}, k \in Z$
$B$. $\sin ^{-1}\left(\frac{(-1)^n}{2}\right), n \in Z$	$II$. $k \pi \pm 1, k \in Z$
$C$. $\tan ^{-1}\left(\sec \frac{\pi}{4}+\tan \frac{\pi}{4}\right)$	$III$. $\frac{3}{2}$
$D$. $\sin ^{-1}\|\sin x\|=\sqrt{\sin ^{-1}\|\sin x\|} \Rightarrow x \in$	$IV$. $\frac{3 \pi}{8}$
	$V$. $\frac{\pi}{2}$

यदि $f(x) = 2 \sin^{-1} \sqrt{1-x} + \sin^{-1} (2 \sqrt{x(1-x)})$ जहाँ $x \in (0, 1/2)$ है,तो $f'(x)$ का मान किसके बराबर है?

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मान लीजिए $S = \{ x : \cos^{-1} x = \pi + \sin^{-1} x + \sin^{-1}(2x + 1) \}$ है। तो $\sum_{x \in S} (2x - 1)^2$ का मान . . . . . . है।

यदि $\cot \left(\cos^{-1} x\right) = \sec \left(\tan^{-1} \left(\frac{a}{\sqrt{b^2-a^2}}\right)\right)$,जहाँ $b > a > 0$,तो $x =$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \tan \left\{\sum_{r=1}^{n} \tan ^{-1}\left(\frac{1}{1+r+r^{2}}\right)\right\}$ का मान .......... है।

$\cot \left\{\frac{2019 \pi}{2}-\left(\operatorname{cosec}^{-1} \frac{5}{3}+\tan ^{-1} \frac{2}{3}\right)\right\}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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