यदि g(x),f(x) का प्रतिलोम (inverse) है और f(x | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{1}^{5} f(x) dx + \int_{2}^{10} g(y) dy$ है।चूँकि $g(y)$,$f(x)$ का प्रतिलोम है,इसलिए $y = f(x)$,जिसका अर्थ है $x = g(y)$।जब $x = 1$

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$48$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int_{1}^{5} f(x) dx + \int_{2}^{10} g(y) dy$ है।चूँकि $g(y)$,$f(x)$ का प्रतिलोम है,इसलिए $y = f(x)$,जिसका अर्थ है $x = g(y)$।जब $x = 1$,तब $y = f(1) = 2$। जब $x = 5$,तब $y = f(5) = 10$।प्रतिलोम फलनों के समाकलन के गुणधर्म का उपयोग करने पर: $\int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{f(a)}^{f(b)} g(y) dy = b f(b) - a f(a)$।यहाँ,$a = 1$ और $b = 5$ है।अतः,$\int_{1}^{5} f(x) dx + \int_{f(1)}^{f(5)} g(y) dy = 5 f(5) - 1 f(1)$।दिए गए मान $f(1) = 2$ और $f(5) = 10$ रखने पर:$= 5(10) - 1(2) = 50 - 2 = 48$।अतः,सही उत्तर $48$ है।

यदि $g(x)$,$f(x)$ का प्रतिलोम (inverse) है और $f(x)$ का प्रांत (domain) $x \in [1, 5]$ है,जहाँ $f(1) = 2$ और $f(5) = 10$,तो $\int_{1}^{5} f(x) dx + \int_{2}^{10} g(y) dy$ का मान ज्ञात कीजिए।

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