यदि $A$,$3 \times 3$ क्रम का एक वर्ग आव्यूह है और $|A| = 2$ है,तो $|(A-A^T)^6| + |(A^T-A)^7|$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $A^T$,आव्यूह $A$ का परिवर्त आव्यूह दर्शाता है)।

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 1 & a & a \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$,जहाँ $a, b \in \mathbb{R}$ है। यदि किसी $n \in \mathbb{N}$ के लिए,$A^n = \begin{bmatrix} 1 & 48 & 2160 \\ 0 & 1 & 96 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ है,तो $n + a + b$ का मान ज्ञात कीजिए।

आव्यूह $A$ इस प्रकार है कि ${A^2} = 2A - I$,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है। तब $n \ge 2$ के लिए,${A^n} = $

यदि $\Delta=\left|\begin{array}{lll}1 & 5 & 6 \\ 0 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right|$ और $\Delta^{\prime}=\left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & 3 \\ 4 & 6 & 100\end{array}\right|$, तो

माना $A = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ \alpha & \beta \end{bmatrix}$ है। यदि $A^2 + \gamma A + 18I = O$ है,तो $\operatorname{det}(A)$ का मान ज्ञात कीजिए।

समीकरण $\left|\begin{array}{ccc}1+\sin ^{2} x & \sin ^{2} x & \sin ^{2} x \\ \cos ^{2} x & 1+\cos ^{2} x & \cos ^{2} x \\ 4 \sin 2 x & 4 \sin 2 x & 1+4 \sin 2 x\end{array}\right|=0$ के लिए $(0 < x < \pi)$ हल ज्ञात कीजिए।