यदि $\Delta=\left|\begin{array}{lll}1 & 5 & 6 \\ 0 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right|$ और $\Delta^{\prime}=\left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & 3 \\ 4 & 6 & 100\end{array}\right|$, तो
- A$\Delta^2-3 \Delta^{\prime}=0$
- B$(\Delta+\Delta^{\prime})^2-3(\Delta+\Delta^{\prime})+2=0$
- C$(\Delta+\Delta^{\prime})^2+3(\Delta+\Delta^{\prime})+5=0$
- D$\Delta+3 \Delta^{\prime}+1=0$
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मान लीजिए $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2+x-1=0$ के भिन्न मूल हैं। समुच्चय $T=\{1, \alpha, \beta\}$ पर विचार करें। एक $3 \times 3$ आव्यूह $M=(a_{ij})$ के लिए,$R_i=a_{i1}+a_{i2}+a_{i3}$ और $C_j=a_{1j}+a_{2j}+a_{3j}$ को परिभाषित करें,जहाँ $i=1,2,3$ और $j=1,2,3$ है। $List-I$ की प्रत्येक प्रविष्टि का $List-II$ की सही प्रविष्टि से मिलान करें।
$List-I$ $List-II$ $(P)$ $T$ में सभी प्रविष्टियों वाले $M=(a_{ij})_{3 \times 3}$ आव्यूहों की संख्या ताकि सभी $i, j$ के लिए $R_i=C_j=0$ हो $(1)$ $1$ $(Q)$ $T$ में सभी प्रविष्टियों वाले सममित आव्यूहों $M=(a_{ij})_{3 \times 3}$ की संख्या ताकि सभी $j$ के लिए $C_j=0$ हो $(2)$ $2$ $(R)$ मान लीजिए $M=(a_{ij})_{3 \times 3}$ एक विषम-सममित आव्यूह है ताकि $i>j$ के लिए $a_{ij} \in T$ हो। तो समुच्चय $\{\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}: x, y, z \in \mathbb{R}, M\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{12} \\ 0 \\ -a_{23} \end{bmatrix}\}$ में तत्वों की संख्या है $(3)$ $\text{अनंत}$ $(S)$ मान लीजिए $M=(a_{ij})_{3 \times 3}$ एक आव्यूह है जिसकी सभी प्रविष्टियाँ $T$ में हैं ताकि सभी $i$ के लिए $R_i=0$ हो। तो $M$ के सारणिक का निरपेक्ष मान है $(4)$ $6$ $(5)$ $0$
| $List-I$ | $List-II$ |
| $(P)$ $T$ में सभी प्रविष्टियों वाले $M=(a_{ij})_{3 \times 3}$ आव्यूहों की संख्या ताकि सभी $i, j$ के लिए $R_i=C_j=0$ हो | $(1)$ $1$ |
| $(Q)$ $T$ में सभी प्रविष्टियों वाले सममित आव्यूहों $M=(a_{ij})_{3 \times 3}$ की संख्या ताकि सभी $j$ के लिए $C_j=0$ हो | $(2)$ $2$ |
| $(R)$ मान लीजिए $M=(a_{ij})_{3 \times 3}$ एक विषम-सममित आव्यूह है ताकि $i>j$ के लिए $a_{ij} \in T$ हो। तो समुच्चय $\{\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}: x, y, z \in \mathbb{R}, M\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{12} \\ 0 \\ -a_{23} \end{bmatrix}\}$ में तत्वों की संख्या है | $(3)$ $\text{अनंत}$ |
| $(S)$ मान लीजिए $M=(a_{ij})_{3 \times 3}$ एक आव्यूह है जिसकी सभी प्रविष्टियाँ $T$ में हैं ताकि सभी $i$ के लिए $R_i=0$ हो। तो $M$ के सारणिक का निरपेक्ष मान है | $(4)$ $6$ |
| $(5)$ $0$ |
क्रमित युग्मों $(x, y)$ की संख्या जिनके लिए $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & x \\ y & 1 & 2 \end{bmatrix}$ एक अव्युत्क्रमणीय (singular) और सममित (symmetric) आव्यूह है,है
मान लीजिए कि $A$ और $B$ ऑर्थोगोनल आव्यूह हैं और $\operatorname{det}(A) + \operatorname{det}(B) = 0$ है। तो
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